Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29379 / 29502
↖ ↑ ↗
← N 69.841515°
W 99.308167°		 ← 105.26 m → N 69.841515°
W 99.305420°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
N 69.840568°
W 99.308167°		 ← 105.26 m →
11 078 m²		 N 69.840568°
W 99.305420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224147796630859 y=0.225086212158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224147796630859 × 217)
    floor (0.224147796630859 × 131072)
    floor (29379.5)     		tx = 29379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225086212158203 × 217)
    floor (0.225086212158203 × 131072)
    floor (29502.5)     		ty = 29502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29379 / 29502 ti = "17/29379/29502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29379/29502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29379 ÷ 217
    29379 ÷ 131072     		x = 0.224143981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29502 ÷ 217
    29502 ÷ 131072     		y = 0.225082397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224143981933594 × 2 - 1) × π
    -0.551712036132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.73325448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225082397460938 × 2 - 1) × π
    0.549835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7273582409091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73325448} λ = -1.73325448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7273582409091))-π/2
    2×atan(5.62577232512087)-π/2
    2×1.39488035966206-π/2
    2.78976071932412-1.57079632675     		φ = 1.21896439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73325448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.308167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21896439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.841515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29379 KachelY 29502 -1.73325448 1.21896439 -99.308167 69.841515
    Oben rechts KachelX + 1 29380 KachelY 29502 -1.73320654 1.21896439 -99.305420 69.841515
    Unten links KachelX 29379 KachelY + 1 29503 -1.73325448 1.21894787 -99.308167 69.840568
    Unten rechts KachelX + 1 29380 KachelY + 1 29503 -1.73320654 1.21894787 -99.305420 69.840568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21896439-1.21894787) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21896439-1.21894787) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73325448--1.73320654) × cos(1.21896439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344618102548639 × 6371000     		do = 105.255238988245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73325448--1.73320654) × cos(1.21894787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344633610535475 × 6371000     		du = 105.2599755266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21896439)-sin(1.21894787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344618102548639-0.344633610535475)×R²
    abs(-1.73320654--1.73325448)×1.5507986835861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5507986835861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5507986835861e-05×40589641000000     		ar = 11078.2494859237m²