Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29379 / 15677
↖ ↑ ↗
← N 68.013742°
W 18.616333°		 ← 228.69 m → N 68.013742°
W 18.610840°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
N 68.011685°
W 18.616333°		 ← 228.71 m →
52 309 m²		 N 68.011685°
W 18.610840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448295593261719 y=0.239219665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448295593261719 × 216)
    floor (0.448295593261719 × 65536)
    floor (29379.5)     		tx = 29379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239219665527344 × 216)
    floor (0.239219665527344 × 65536)
    floor (15677.5)     		ty = 15677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29379 / 15677 ti = "16/29379/15677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29379/15677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29379 ÷ 216
    29379 ÷ 65536     		x = 0.448287963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15677 ÷ 216
    15677 ÷ 65536     		y = 0.239212036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448287963867188 × 2 - 1) × π
    -0.103424072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32491631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239212036132812 × 2 - 1) × π
    0.521575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63857910281276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32491631} λ = -0.32491631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63857910281276))-π/2
    2×atan(5.14784974792278)-π/2
    2×1.37893002629845-π/2
    2.7578600525969-1.57079632675     		φ = 1.18706373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32491631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.616333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18706373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.013742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29379 KachelY 15677 -0.32491631 1.18706373 -18.616333 68.013742
    Oben rechts KachelX + 1 29380 KachelY 15677 -0.32482043 1.18706373 -18.610840 68.013742
    Unten links KachelX 29379 KachelY + 1 15678 -0.32491631 1.18702783 -18.616333 68.011685
    Unten rechts KachelX + 1 29380 KachelY + 1 15678 -0.32482043 1.18702783 -18.610840 68.011685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18706373-1.18702783) × R
    3.59000000000886e-05 × 6371000     		dl = 228.718900000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18706373-1.18702783) × R
    3.59000000000886e-05 × 6371000     		dr = 228.718900000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32491631--0.32482043) × cos(1.18706373) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.374384208125592 × 6371000     		do = 228.693147622128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32491631--0.32482043) × cos(1.18702783) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.374417497009192 × 6371000     		du = 228.713482185943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18706373)-sin(1.18702783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374384208125592-0.374417497009192)×R²
    abs(-0.32482043--0.32491631)×3.32888835998801e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.32888835998801e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.32888835998801e-05×40589641000000     		ar = 52308.7706168748m²