Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29377 / 15682
↖ ↑ ↗
← N 68.003457°
W 18.627319°		 ← 228.77 m → N 68.003457°
W 18.621826°		 →
↑
228.78 m
↓
↑
228.78 m
↓
N 68.001399°
W 18.627319°		 ← 228.79 m →
52 341 m²		 N 68.001399°
W 18.621826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448265075683594 y=0.239295959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448265075683594 × 216)
    floor (0.448265075683594 × 65536)
    floor (29377.5)     		tx = 29377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239295959472656 × 216)
    floor (0.239295959472656 × 65536)
    floor (15682.5)     		ty = 15682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29377 / 15682 ti = "16/29377/15682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29377/15682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29377 ÷ 216
    29377 ÷ 65536     		x = 0.448257446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15682 ÷ 216
    15682 ÷ 65536     		y = 0.239288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448257446289062 × 2 - 1) × π
    -0.103485107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32510805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239288330078125 × 2 - 1) × π
    0.52142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63809973381656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32510805} λ = -0.32510805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63809973381656))-π/2
    2×atan(5.14538261973615)-π/2
    2×1.37884027226034-π/2
    2.75768054452068-1.57079632675     		φ = 1.18688422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32510805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.627319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18688422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.003457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29377 KachelY 15682 -0.32510805 1.18688422 -18.627319 68.003457
    Oben rechts KachelX + 1 29378 KachelY 15682 -0.32501218 1.18688422 -18.621826 68.003457
    Unten links KachelX 29377 KachelY + 1 15683 -0.32510805 1.18684831 -18.627319 68.001399
    Unten rechts KachelX + 1 29378 KachelY + 1 15683 -0.32501218 1.18684831 -18.621826 68.001399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18688422-1.18684831) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dl = 228.782610000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18688422-1.18684831) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dr = 228.782610000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32510805--0.32501218) × cos(1.18688422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374550656989696 × 6371000     		do = 228.770960534766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32510805--0.32501218) × cos(1.18684831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374583952731897 × 6371000     		du = 228.791297166896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18688422)-sin(1.18684831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374550656989696-0.374583952731897)×R²
    abs(-0.32501218--0.32510805)×3.32957422012892e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32957422012892e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32957422012892e-05×40589641000000     		ar = 52341.1437830705m²