Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29376 / 22775
↖ ↑ ↗
← N 48.022998°
W 18.632813°		 ← 408.56 m → N 48.022998°
W 18.627319°		 →
↑
408.57 m
↓
↑
408.57 m
↓
N 48.019324°
W 18.632813°		 ← 408.59 m →
166 931 m²		 N 48.019324°
W 18.627319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448249816894531 y=0.347526550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448249816894531 × 216)
    floor (0.448249816894531 × 65536)
    floor (29376.5)     		tx = 29376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347526550292969 × 216)
    floor (0.347526550292969 × 65536)
    floor (22775.5)     		ty = 22775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29376 / 22775 ti = "16/29376/22775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29376/22775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29376 ÷ 216
    29376 ÷ 65536     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22775 ÷ 216
    22775 ÷ 65536     		y = 0.347518920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347518920898438 × 2 - 1) × π
    0.304962158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.958066875806442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958066875806442))-π/2
    2×atan(2.60665261655571)-π/2
    2×1.2044778820793-π/2
    2.40895576415859-1.57079632675     		φ = 0.83815944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83815944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.022998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29376 KachelY 22775 -0.32520393 0.83815944 -18.632813 48.022998
    Oben rechts KachelX + 1 29377 KachelY 22775 -0.32510805 0.83815944 -18.627319 48.022998
    Unten links KachelX 29376 KachelY + 1 22776 -0.32520393 0.83809531 -18.632813 48.019324
    Unten rechts KachelX + 1 29377 KachelY + 1 22776 -0.32510805 0.83809531 -18.627319 48.019324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83815944-0.83809531) × R
    6.41299999999401e-05 × 6371000     		dl = 408.572229999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83815944-0.83809531) × R
    6.41299999999401e-05 × 6371000     		dr = 408.572229999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32510805) × cos(0.83815944) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668832254839759 × 6371000     		do = 408.557172740572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32510805) × cos(0.83809531) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668879928562778 × 6371000     		du = 408.586294304836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83815944)-sin(0.83809531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668832254839759-0.668879928562778)×R²
    abs(-0.32510805--0.32520393)×4.76737230196145e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76737230196145e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76737230196145e-05×40589641000000     		ar = 166931.064337529m²