Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29375 / 42962
↖ ↑ ↗
← S 48.756188°
W 18.638306°		 ← 402.67 m → S 48.756188°
W 18.632813°		 →
↑
402.71 m
↓
↑
402.71 m
↓
S 48.759810°
W 18.638306°		 ← 402.64 m →
162 154 m²		 S 48.759810°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448234558105469 y=0.655555725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448234558105469 × 216)
    floor (0.448234558105469 × 65536)
    floor (29375.5)     		tx = 29375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655555725097656 × 216)
    floor (0.655555725097656 × 65536)
    floor (42962.5)     		ty = 42962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29375 / 42962 ti = "16/29375/42962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29375/42962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29375 ÷ 216
    29375 ÷ 65536     		x = 0.448226928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42962 ÷ 216
    42962 ÷ 65536     		y = 0.655548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448226928710938 × 2 - 1) × π
    -0.103546142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32529980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.31109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.977337509453705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32529980} λ = -0.32529980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977337509453705))-π/2
    2×atan(0.376311692548552)-π/2
    2×0.359920151089248-π/2
    0.719840302178496-1.57079632675     		φ = -0.85095602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32529980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.638306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85095602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.756188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29375 KachelY 42962 -0.32529980 -0.85095602 -18.638306 -48.756188
    Oben rechts KachelX + 1 29376 KachelY 42962 -0.32520393 -0.85095602 -18.632813 -48.756188
    Unten links KachelX 29375 KachelY + 1 42963 -0.32529980 -0.85101923 -18.638306 -48.759810
    Unten rechts KachelX + 1 29376 KachelY + 1 42963 -0.32520393 -0.85101923 -18.632813 -48.759810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85095602--0.85101923) × R
    6.32099999999802e-05 × 6371000     		dl = 402.710909999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85095602--0.85101923) × R
    6.32099999999802e-05 × 6371000     		dr = 402.710909999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32529980--0.32520393) × cos(-0.85095602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659264605297694 × 6371000     		do = 402.6707581097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32529980--0.32520393) × cos(-0.85101923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65921707568518 × 6371000     		du = 402.641727603664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85095602)-sin(-0.85101923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659264605297694-0.65921707568518)×R²
    abs(-0.32520393--0.32529980)×4.75296125143077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75296125143077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75296125143077e-05×40589641000000     		ar = 162154.062031924m²