Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29373 / 43005
↖ ↑ ↗
← S 48.911670°
W 18.649292°		 ← 401.46 m → S 48.911670°
W 18.643799°		 →
↑
401.44 m
↓
↑
401.44 m
↓
S 48.915280°
W 18.649292°		 ← 401.44 m →
161 157 m²		 S 48.915280°
W 18.643799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448204040527344 y=0.656211853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448204040527344 × 216)
    floor (0.448204040527344 × 65536)
    floor (29373.5)     		tx = 29373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656211853027344 × 216)
    floor (0.656211853027344 × 65536)
    floor (43005.5)     		ty = 43005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29373 / 43005 ti = "16/29373/43005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29373/43005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29373 ÷ 216
    29373 ÷ 65536     		x = 0.448196411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43005 ÷ 216
    43005 ÷ 65536     		y = 0.656204223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448196411132812 × 2 - 1) × π
    -0.103607177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32549155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656204223632812 × 2 - 1) × π
    -0.312408447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.98146008282103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32549155} λ = -0.32549155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98146008282103))-π/2
    2×atan(0.374763513420745)-π/2
    2×0.358563323452913-π/2
    0.717126646905826-1.57079632675     		φ = -0.85366968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32549155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.649292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85366968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.911670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29373 KachelY 43005 -0.32549155 -0.85366968 -18.649292 -48.911670
    Oben rechts KachelX + 1 29374 KachelY 43005 -0.32539567 -0.85366968 -18.643799 -48.911670
    Unten links KachelX 29373 KachelY + 1 43006 -0.32549155 -0.85373269 -18.649292 -48.915280
    Unten rechts KachelX + 1 29374 KachelY + 1 43006 -0.32539567 -0.85373269 -18.643799 -48.915280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85366968--0.85373269) × R
    6.30099999999745e-05 × 6371000     		dl = 401.436709999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85366968--0.85373269) × R
    6.30099999999745e-05 × 6371000     		dr = 401.436709999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32549155--0.32539567) × cos(-0.85366968) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.657221749552171 × 6371000     		do = 401.464878402102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32549155--0.32539567) × cos(-0.85373269) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.65717425778267 × 6371000     		du = 401.435867984415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85366968)-sin(-0.85373269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657221749552171-0.65717425778267)×R²
    abs(-0.32539567--0.32549155)×4.74917695011401e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74917695011401e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74917695011401e-05×40589641000000     		ar = 161156.917096003m²