Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29372 / 22483
↖ ↑ ↗
← N 49.084660°
W 18.654785°		 ← 400.03 m → N 49.084660°
W 18.649292°		 →
↑
400.04 m
↓
↑
400.04 m
↓
N 49.081062°
W 18.654785°		 ← 400.06 m →
160 032 m²		 N 49.081062°
W 18.649292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448188781738281 y=0.343070983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448188781738281 × 216)
    floor (0.448188781738281 × 65536)
    floor (29372.5)     		tx = 29372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343070983886719 × 216)
    floor (0.343070983886719 × 65536)
    floor (22483.5)     		ty = 22483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29372 / 22483 ti = "16/29372/22483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29372/22483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29372 ÷ 216
    29372 ÷ 65536     		x = 0.44818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22483 ÷ 216
    22483 ÷ 65536     		y = 0.343063354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343063354492188 × 2 - 1) × π
    0.313873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.986062025184555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32558742} λ = -0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986062025184555))-π/2
    2×atan(2.68065729876521)-π/2
    2×1.21374262978685-π/2
    2.42748525957369-1.57079632675     		φ = 0.85668893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85668893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.084660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29372 KachelY 22483 -0.32558742 0.85668893 -18.654785 49.084660
    Oben rechts KachelX + 1 29373 KachelY 22483 -0.32549155 0.85668893 -18.649292 49.084660
    Unten links KachelX 29372 KachelY + 1 22484 -0.32558742 0.85662614 -18.654785 49.081062
    Unten rechts KachelX + 1 29373 KachelY + 1 22484 -0.32549155 0.85662614 -18.649292 49.081062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85668893-0.85662614) × R
    6.27899999999793e-05 × 6371000     		dl = 400.035089999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85668893-0.85662614) × R
    6.27899999999793e-05 × 6371000     		dr = 400.035089999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32558742--0.32549155) × cos(0.85668893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654943156960932 × 6371000     		do = 400.031270316919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32558742--0.32549155) × cos(0.85662614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654990604700638 × 6371000     		du = 400.060250816045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85668893)-sin(0.85662614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654943156960932-0.654990604700638)×R²
    abs(-0.32549155--0.32558742)×4.74477397054418e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74477397054418e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74477397054418e-05×40589641000000     		ar = 160032.341884842m²