Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29372 / 15674
↖ ↑ ↗
← N 68.019910°
W 18.654785°		 ← 228.61 m → N 68.019910°
W 18.649292°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
N 68.017854°
W 18.654785°		 ← 228.63 m →
52 260 m²		 N 68.017854°
W 18.649292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448188781738281 y=0.239173889160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448188781738281 × 216)
    floor (0.448188781738281 × 65536)
    floor (29372.5)     		tx = 29372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239173889160156 × 216)
    floor (0.239173889160156 × 65536)
    floor (15674.5)     		ty = 15674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29372 / 15674 ti = "16/29372/15674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29372/15674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29372 ÷ 216
    29372 ÷ 65536     		x = 0.44818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15674 ÷ 216
    15674 ÷ 65536     		y = 0.239166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239166259765625 × 2 - 1) × π
    0.52166748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.63886672421048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32558742} λ = -0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63886672421048))-π/2
    2×atan(5.14933059261363)-π/2
    2×1.37898385957443-π/2
    2.75796771914886-1.57079632675     		φ = 1.18717139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18717139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.019910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29372 KachelY 15674 -0.32558742 1.18717139 -18.654785 68.019910
    Oben rechts KachelX + 1 29373 KachelY 15674 -0.32549155 1.18717139 -18.649292 68.019910
    Unten links KachelX 29372 KachelY + 1 15675 -0.32558742 1.18713551 -18.654785 68.017854
    Unten rechts KachelX + 1 29373 KachelY + 1 15675 -0.32549155 1.18713551 -18.649292 68.017854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18717139-1.18713551) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18717139-1.18713551) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32558742--0.32549155) × cos(1.18717139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374284375672462 × 6371000     		do = 228.608319162821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32558742--0.32549155) × cos(1.18713551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374317647456916 × 6371000     		du = 228.628641161851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18717139)-sin(1.18713551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374284375672462-0.374317647456916)×R²
    abs(-0.32549155--0.32558742)×3.3271784453115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3271784453115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3271784453115e-05×40589641000000     		ar = 52260.2367413513m²