Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29371 / 15678
↖ ↑ ↗
← N 68.011685°
W 18.660279°		 ← 228.71 m → N 68.011685°
W 18.654785°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
N 68.009628°
W 18.660279°		 ← 228.73 m →
52 313 m²		 N 68.009628°
W 18.654785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448173522949219 y=0.239234924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448173522949219 × 216)
    floor (0.448173522949219 × 65536)
    floor (29371.5)     		tx = 29371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239234924316406 × 216)
    floor (0.239234924316406 × 65536)
    floor (15678.5)     		ty = 15678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29371 / 15678 ti = "16/29371/15678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29371/15678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29371 ÷ 216
    29371 ÷ 65536     		x = 0.448165893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15678 ÷ 216
    15678 ÷ 65536     		y = 0.239227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448165893554688 × 2 - 1) × π
    -0.103668212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32568330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239227294921875 × 2 - 1) × π
    0.52154541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.63848322901352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32568330} λ = -0.32568330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63848322901352))-π/2
    2×atan(5.14735622766774)-π/2
    2×1.37891207868229-π/2
    2.75782415736458-1.57079632675     		φ = 1.18702783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32568330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.660279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18702783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.011685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29371 KachelY 15678 -0.32568330 1.18702783 -18.660279 68.011685
    Oben rechts KachelX + 1 29372 KachelY 15678 -0.32558742 1.18702783 -18.654785 68.011685
    Unten links KachelX 29371 KachelY + 1 15679 -0.32568330 1.18699193 -18.660279 68.009628
    Unten rechts KachelX + 1 29372 KachelY + 1 15679 -0.32558742 1.18699193 -18.654785 68.009628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18702783-1.18699193) × R
    3.58999999998666e-05 × 6371000     		dl = 228.71889999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18702783-1.18699193) × R
    3.58999999998666e-05 × 6371000     		dr = 228.71889999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32568330--0.32558742) × cos(1.18702783) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.374417497009192 × 6371000     		do = 228.713482185943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32568330--0.32558742) × cos(1.18699193) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.374450785410238 × 6371000     		du = 228.733816454989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18702783)-sin(1.18699193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374417497009192-0.374450785410238)×R²
    abs(-0.32558742--0.32568330)×3.32884010466605e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.32884010466605e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.32884010466605e-05×40589641000000     		ar = 52313.4214818474m²