Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29370 / 42994
S 48.871941°
W 18.665771°
← 401.74 m → S 48.871941°
W 18.660279°

401.76 m

401.76 m
S 48.875555°
W 18.665771°
← 401.71 m →
161 396 m²
S 48.875555°
W 18.660279°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448158264160156 y=0.656044006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448158264160156 × 216)
    floor (0.448158264160156 × 65536)
    floor (29370.5)
    tx = 29370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656044006347656 × 216)
    floor (0.656044006347656 × 65536)
    floor (42994.5)
    ty = 42994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29370 / 42994 ti = "16/29370/42994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29370/42994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29370 ÷ 216
    29370 ÷ 65536
    x = 0.448150634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42994 ÷ 216
    42994 ÷ 65536
    y = 0.656036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.448150634765625 × 2 - 1) × π
    -0.10369873046875 × 3.1415926535
    Λ = -0.32577917
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.656036376953125 × 2 - 1) × π
    -0.31207275390625 × 3.1415926535
    Φ = -0.980405471029388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32577917} λ = -0.32577917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980405471029388))-π/2
    2×atan(0.375158951921478)-π/2
    2×0.358910018096849-π/2
    0.717820036193699-1.57079632675
    φ = -0.85297629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32577917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.665771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85297629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.871941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29370 KachelY 42994 -0.32577917 -0.85297629 -18.665771 -48.871941
    Oben rechts KachelX + 1 29371 KachelY 42994 -0.32568330 -0.85297629 -18.660279 -48.871941
    Unten links KachelX 29370 KachelY + 1 42995 -0.32577917 -0.85303935 -18.665771 -48.875555
    Unten rechts KachelX + 1 29371 KachelY + 1 42995 -0.32568330 -0.85303935 -18.660279 -48.875555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.85297629--0.85303935) × R
    6.30600000000037e-05 × 6371000
    dl = 401.755260000023m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.85297629--0.85303935) × R
    6.30600000000037e-05 × 6371000
    dr = 401.755260000023m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32577917--0.32568330) × cos(-0.85297629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657744197666295 × 6371000
    do = 401.742111723027m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32577917--0.32568330) × cos(-0.85303935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657696696957378 × 6371000
    du = 401.713098870954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.85297629)-sin(-0.85303935))×
    abs(λ12)×abs(0.657744197666295-0.657696696957378)×
    abs(-0.32568330--0.32577917)×4.75007089164592e-05×
    9.58699999999979e-05×4.75007089164592e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75007089164592e-05×40589641000000
    ar = 161396.178568736m²