Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29366 / 20685
↖ ↑ ↗
← N 76.712019°
W 99.343872°		 ← 70.20 m → N 76.712019°
W 99.341125°		 →
↑
70.21 m
↓
↑
70.21 m
↓
N 76.711388°
W 99.343872°		 ← 70.20 m →
4 929 m²		 N 76.711388°
W 99.341125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224048614501953 y=0.157817840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224048614501953 × 217)
    floor (0.224048614501953 × 131072)
    floor (29366.5)     		tx = 29366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157817840576172 × 217)
    floor (0.157817840576172 × 131072)
    floor (20685.5)     		ty = 20685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29366 / 20685 ti = "17/29366/20685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29366/20685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29366 ÷ 217
    29366 ÷ 131072     		x = 0.224044799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20685 ÷ 217
    20685 ÷ 131072     		y = 0.157814025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224044799804688 × 2 - 1) × π
    -0.551910400390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73387766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157814025878906 × 2 - 1) × π
    0.684371948242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.15001788485914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73387766} λ = -1.73387766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15001788485914))-π/2
    2×atan(8.58501193753407)-π/2
    2×1.45483681719368-π/2
    2.90967363438735-1.57079632675     		φ = 1.33887731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73387766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.343872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33887731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.712019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29366 KachelY 20685 -1.73387766 1.33887731 -99.343872 76.712019
    Oben rechts KachelX + 1 29367 KachelY 20685 -1.73382972 1.33887731 -99.341125 76.712019
    Unten links KachelX 29366 KachelY + 1 20686 -1.73387766 1.33886629 -99.343872 76.711388
    Unten rechts KachelX + 1 29367 KachelY + 1 20686 -1.73382972 1.33886629 -99.341125 76.711388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33887731-1.33886629) × R
    1.10200000000837e-05 × 6371000     		dl = 70.2084200005335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33887731-1.33886629) × R
    1.10200000000837e-05 × 6371000     		dr = 70.2084200005335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73387766--1.73382972) × cos(1.33887731) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.229845584775223 × 6371000     		do = 70.2007578159844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73387766--1.73382972) × cos(1.33886629) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.229856309724016 × 6371000     		du = 70.204033491406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33887731)-sin(1.33886629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229845584775223-0.229856309724016)×R²
    abs(-1.73382972--1.73387766)×1.07249487930894e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.07249487930894e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.07249487930894e-05×40589641000000     		ar = 4928.79927904644m²