Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29365 / 22740
↖ ↑ ↗
← N 48.151428°
W 18.693237°		 ← 407.50 m → N 48.151428°
W 18.687744°		 →
↑
407.55 m
↓
↑
407.55 m
↓
N 48.147763°
W 18.693237°		 ← 407.52 m →
166 082 m²		 N 48.147763°
W 18.687744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448081970214844 y=0.346992492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448081970214844 × 216)
    floor (0.448081970214844 × 65536)
    floor (29365.5)     		tx = 29365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346992492675781 × 216)
    floor (0.346992492675781 × 65536)
    floor (22740.5)     		ty = 22740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29365 / 22740 ti = "16/29365/22740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29365/22740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29365 ÷ 216
    29365 ÷ 65536     		x = 0.448074340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22740 ÷ 216
    22740 ÷ 65536     		y = 0.34698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448074340820312 × 2 - 1) × π
    -0.103851318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32625854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34698486328125 × 2 - 1) × π
    0.3060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961422458779846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32625854} λ = -0.32625854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961422458779846))-π/2
    2×atan(2.61541414749423)-π/2
    2×1.20559864370662-π/2
    2.41119728741323-1.57079632675     		φ = 0.84040096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32625854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.693237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84040096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.151428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29365 KachelY 22740 -0.32625854 0.84040096 -18.693237 48.151428
    Oben rechts KachelX + 1 29366 KachelY 22740 -0.32616267 0.84040096 -18.687744 48.151428
    Unten links KachelX 29365 KachelY + 1 22741 -0.32625854 0.84033699 -18.693237 48.147763
    Unten rechts KachelX + 1 29366 KachelY + 1 22741 -0.32616267 0.84033699 -18.687744 48.147763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84040096-0.84033699) × R
    6.39700000000243e-05 × 6371000     		dl = 407.552870000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84040096-0.84033699) × R
    6.39700000000243e-05 × 6371000     		dr = 407.552870000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32625854--0.32616267) × cos(0.84040096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667164200090286 × 6371000     		do = 407.495733996971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32625854--0.32616267) × cos(0.84033699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667211850661765 × 6371000     		du = 407.524838383264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84040096)-sin(0.84033699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667164200090286-0.667211850661765)×R²
    abs(-0.32616267--0.32625854)×4.7650571479263e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7650571479263e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7650571479263e-05×40589641000000     		ar = 166081.986747661m²