Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29365 / 14677
↖ ↑ ↗
← N 69.981135°
W 18.693237°		 ← 209.09 m → N 69.981135°
W 18.687744°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
N 69.979254°
W 18.693237°		 ← 209.11 m →
43 735 m²		 N 69.979254°
W 18.687744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448081970214844 y=0.223960876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448081970214844 × 216)
    floor (0.448081970214844 × 65536)
    floor (29365.5)     		tx = 29365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223960876464844 × 216)
    floor (0.223960876464844 × 65536)
    floor (14677.5)     		ty = 14677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29365 / 14677 ti = "16/29365/14677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29365/14677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29365 ÷ 216
    29365 ÷ 65536     		x = 0.448074340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14677 ÷ 216
    14677 ÷ 65536     		y = 0.223953247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448074340820312 × 2 - 1) × π
    -0.103851318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32625854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223953247070312 × 2 - 1) × π
    0.552093505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73445290205287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32625854} λ = -0.32625854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73445290205287))-π/2
    2×atan(5.66582719328726)-π/2
    2×1.39609877092082-π/2
    2.79219754184164-1.57079632675     		φ = 1.22140122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32625854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.693237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22140122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.981135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29365 KachelY 14677 -0.32625854 1.22140122 -18.693237 69.981135
    Oben rechts KachelX + 1 29366 KachelY 14677 -0.32616267 1.22140122 -18.687744 69.981135
    Unten links KachelX 29365 KachelY + 1 14678 -0.32625854 1.22136839 -18.693237 69.979254
    Unten rechts KachelX + 1 29366 KachelY + 1 14678 -0.32616267 1.22136839 -18.687744 69.979254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22140122-1.22136839) × R
    3.28299999998727e-05 × 6371000     		dl = 209.159929999189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22140122-1.22136839) × R
    3.28299999998727e-05 × 6371000     		dr = 209.159929999189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32625854--0.32616267) × cos(1.22140122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342329524586612 × 6371000     		do = 209.090686927412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32625854--0.32616267) × cos(1.22136839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342360370812129 × 6371000     		du = 209.109527424709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22140122)-sin(1.22136839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342329524586612-0.342360370812129)×R²
    abs(-0.32616267--0.32625854)×3.08462255171893e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08462255171893e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08462255171893e-05×40589641000000     		ar = 43735.3637838312m²