Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29364 / 43030
↖ ↑ ↗
← S 49.001844°
W 18.698730°		 ← 400.70 m → S 49.001844°
W 18.693237°		 →
↑
400.67 m
↓
↑
400.67 m
↓
S 49.005447°
W 18.698730°		 ← 400.67 m →
160 543 m²		 S 49.005447°
W 18.693237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448066711425781 y=0.656593322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448066711425781 × 216)
    floor (0.448066711425781 × 65536)
    floor (29364.5)     		tx = 29364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656593322753906 × 216)
    floor (0.656593322753906 × 65536)
    floor (43030.5)     		ty = 43030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29364 / 43030 ti = "16/29364/43030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29364/43030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29364 ÷ 216
    29364 ÷ 65536     		x = 0.44805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43030 ÷ 216
    43030 ÷ 65536     		y = 0.656585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.31317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.983856927802032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32635441} λ = -0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983856927802032))-π/2
    2×atan(0.373866338998058)-π/2
    2×0.357776405448131-π/2
    0.715552810896261-1.57079632675     		φ = -0.85524352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85524352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.001844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29364 KachelY 43030 -0.32635441 -0.85524352 -18.698730 -49.001844
    Oben rechts KachelX + 1 29365 KachelY 43030 -0.32625854 -0.85524352 -18.693237 -49.001844
    Unten links KachelX 29364 KachelY + 1 43031 -0.32635441 -0.85530641 -18.698730 -49.005447
    Unten rechts KachelX + 1 29365 KachelY + 1 43031 -0.32625854 -0.85530641 -18.693237 -49.005447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85524352--0.85530641) × R
    6.28899999999266e-05 × 6371000     		dl = 400.672189999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85524352--0.85530641) × R
    6.28899999999266e-05 × 6371000     		dr = 400.672189999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32635441--0.32625854) × cos(-0.85524352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656034737173587 × 6371000     		do = 400.697994160783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32635441--0.32625854) × cos(-0.85530641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655987270862783 × 6371000     		du = 400.669002318656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85524352)-sin(-0.85530641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656034737173587-0.655987270862783)×R²
    abs(-0.32625854--0.32635441)×4.74663108043227e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74663108043227e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74663108043227e-05×40589641000000     		ar = 160542.734789174m²