Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29364 / 20684
↖ ↑ ↗
← N 76.712651°
W 99.349365°		 ← 70.18 m → N 76.712651°
W 99.346619°		 →
↑
70.21 m
↓
↑
70.21 m
↓
N 76.712019°
W 99.349365°		 ← 70.19 m →
4 928 m²		 N 76.712019°
W 99.346619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224033355712891 y=0.157810211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224033355712891 × 217)
    floor (0.224033355712891 × 131072)
    floor (29364.5)     		tx = 29364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157810211181641 × 217)
    floor (0.157810211181641 × 131072)
    floor (20684.5)     		ty = 20684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29364 / 20684 ti = "17/29364/20684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29364/20684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29364 ÷ 217
    29364 ÷ 131072     		x = 0.224029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20684 ÷ 217
    20684 ÷ 131072     		y = 0.157806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.55194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.73397353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157806396484375 × 2 - 1) × π
    0.68438720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15006582175876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73397353} λ = -1.73397353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15006582175876))-π/2
    2×atan(8.58542348625366)-π/2
    2×1.45484232610759-π/2
    2.90968465221518-1.57079632675     		φ = 1.33888833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73397353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.349365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33888833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.712651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29364 KachelY 20684 -1.73397353 1.33888833 -99.349365 76.712651
    Oben rechts KachelX + 1 29365 KachelY 20684 -1.73392560 1.33888833 -99.346619 76.712651
    Unten links KachelX 29364 KachelY + 1 20685 -1.73397353 1.33887731 -99.349365 76.712019
    Unten rechts KachelX + 1 29365 KachelY + 1 20685 -1.73392560 1.33887731 -99.346619 76.712019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33888833-1.33887731) × R
    1.10200000000837e-05 × 6371000     		dl = 70.2084200005335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33888833-1.33887731) × R
    1.10200000000837e-05 × 6371000     		dr = 70.2084200005335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73397353--1.73392560) × cos(1.33888833) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.229834859798517 × 6371000     		do = 70.1828393528836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73397353--1.73392560) × cos(1.33887731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.229845584775223 × 6371000     		du = 70.1861143535422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33888833)-sin(1.33887731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229834859798517-0.229845584775223)×R²
    abs(-1.73392560--1.73397353)×1.07249767056228e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07249767056228e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07249767056228e-05×40589641000000     		ar = 4927.54122852291m²