Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29364 / 17812
↖ ↑ ↗
← N 63.184107°
W 18.698730°		 ← 275.54 m → N 63.184107°
W 18.693237°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
N 63.181629°
W 18.698730°		 ← 275.57 m →
75 928 m²		 N 63.181629°
W 18.693237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448066711425781 y=0.271797180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448066711425781 × 216)
    floor (0.448066711425781 × 65536)
    floor (29364.5)     		tx = 29364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271797180175781 × 216)
    floor (0.271797180175781 × 65536)
    floor (17812.5)     		ty = 17812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29364 / 17812 ti = "16/29364/17812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29364/17812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29364 ÷ 216
    29364 ÷ 65536     		x = 0.44805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17812 ÷ 216
    17812 ÷ 65536     		y = 0.27178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27178955078125 × 2 - 1) × π
    0.4564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43388854143512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32635441} λ = -0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43388854143512))-π/2
    2×atan(4.19497987040771)-π/2
    2×1.33678352069017-π/2
    2.67356704138033-1.57079632675     		φ = 1.10277071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10277071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.184107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29364 KachelY 17812 -0.32635441 1.10277071 -18.698730 63.184107
    Oben rechts KachelX + 1 29365 KachelY 17812 -0.32625854 1.10277071 -18.693237 63.184107
    Unten links KachelX 29364 KachelY + 1 17813 -0.32635441 1.10272746 -18.698730 63.181629
    Unten rechts KachelX + 1 29365 KachelY + 1 17813 -0.32625854 1.10272746 -18.693237 63.181629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10277071-1.10272746) × R
    4.32499999998281e-05 × 6371000     		dl = 275.545749998905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10277071-1.10272746) × R
    4.32499999998281e-05 × 6371000     		dr = 275.545749998905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32635441--0.32625854) × cos(1.10277071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451125106350424 × 6371000     		do = 275.541697698782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32635441--0.32625854) × cos(1.10272746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451163704854664 × 6371000     		du = 275.565273193112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10277071)-sin(1.10272746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451125106350424-0.451163704854664)×R²
    abs(-0.32625854--0.32635441)×3.85985042395953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85985042395953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85985042395953e-05×40589641000000     		ar = 75927.5918234619m²