Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29363 / 14660
↖ ↑ ↗
← N 70.013079°
W 18.704224°		 ← 208.79 m → N 70.013079°
W 18.698730°		 →
↑
208.84 m
↓
↑
208.84 m
↓
N 70.011200°
W 18.704224°		 ← 208.81 m →
43 606 m²		 N 70.011200°
W 18.698730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448051452636719 y=0.223701477050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448051452636719 × 216)
    floor (0.448051452636719 × 65536)
    floor (29363.5)     		tx = 29363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223701477050781 × 216)
    floor (0.223701477050781 × 65536)
    floor (14660.5)     		ty = 14660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29363 / 14660 ti = "16/29363/14660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29363/14660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29363 ÷ 216
    29363 ÷ 65536     		x = 0.448043823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14660 ÷ 216
    14660 ÷ 65536     		y = 0.22369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448043823242188 × 2 - 1) × π
    -0.103912353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32645029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22369384765625 × 2 - 1) × π
    0.5526123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73608275663995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32645029} λ = -0.32645029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73608275663995))-π/2
    2×atan(5.67506919724323)-π/2
    2×1.39637753108496-π/2
    2.79275506216991-1.57079632675     		φ = 1.22195874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32645029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.704224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22195874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.013079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29363 KachelY 14660 -0.32645029 1.22195874 -18.704224 70.013079
    Oben rechts KachelX + 1 29364 KachelY 14660 -0.32635441 1.22195874 -18.698730 70.013079
    Unten links KachelX 29363 KachelY + 1 14661 -0.32645029 1.22192596 -18.704224 70.011200
    Unten rechts KachelX + 1 29364 KachelY + 1 14661 -0.32635441 1.22192596 -18.698730 70.011200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22195874-1.22192596) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dl = 208.84137999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22195874-1.22192596) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dr = 208.84137999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32645029--0.32635441) × cos(1.22195874) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341805636792932 × 6371000     		do = 208.792479107289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32645029--0.32635441) × cos(1.22192596) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341836442291753 × 6371000     		du = 208.811296691836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22195874)-sin(1.22192596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341805636792932-0.341836442291753)×R²
    abs(-0.32635441--0.32645029)×3.0805498820563e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.0805498820563e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.0805498820563e-05×40589641000000     		ar = 43606.474419135m²