Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29362 / 22492
↖ ↑ ↗
← N 49.052270°
W 18.709717°		 ← 400.29 m → N 49.052270°
W 18.704224°		 →
↑
400.29 m
↓
↑
400.29 m
↓
N 49.048670°
W 18.709717°		 ← 400.32 m →
160 239 m²		 N 49.048670°
W 18.704224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448036193847656 y=0.343208312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448036193847656 × 216)
    floor (0.448036193847656 × 65536)
    floor (29362.5)     		tx = 29362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343208312988281 × 216)
    floor (0.343208312988281 × 65536)
    floor (22492.5)     		ty = 22492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29362 / 22492 ti = "16/29362/22492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29362/22492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29362 ÷ 216
    29362 ÷ 65536     		x = 0.448028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22492 ÷ 216
    22492 ÷ 65536     		y = 0.34320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.10394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32654616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34320068359375 × 2 - 1) × π
    0.3135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.985199160991394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32654616} λ = -0.32654616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985199160991394))-π/2
    2×atan(2.67834525320208)-π/2
    2×1.213459974161-π/2
    2.426919948322-1.57079632675     		φ = 0.85612362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32654616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.709717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85612362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.052270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29362 KachelY 22492 -0.32654616 0.85612362 -18.709717 49.052270
    Oben rechts KachelX + 1 29363 KachelY 22492 -0.32645029 0.85612362 -18.704224 49.052270
    Unten links KachelX 29362 KachelY + 1 22493 -0.32654616 0.85606079 -18.709717 49.048670
    Unten rechts KachelX + 1 29363 KachelY + 1 22493 -0.32645029 0.85606079 -18.704224 49.048670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85612362-0.85606079) × R
    6.28299999999582e-05 × 6371000     		dl = 400.289929999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85612362-0.85606079) × R
    6.28299999999582e-05 × 6371000     		dr = 400.289929999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32654616--0.32645029) × cos(0.85612362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65537024469934 × 6371000     		do = 400.292130284255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32654616--0.32645029) × cos(0.85606079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655417699393546 × 6371000     		du = 400.321115031106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85612362)-sin(0.85606079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65537024469934-0.655417699393546)×R²
    abs(-0.32645029--0.32654616)×4.74546942065279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74546942065279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74546942065279e-05×40589641000000     		ar = 160238.710014876m²