Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29362 / 17811
↖ ↑ ↗
← N 63.186585°
W 18.709717°		 ← 275.52 m → N 63.186585°
W 18.704224°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
N 63.184107°
W 18.709717°		 ← 275.54 m →
75 921 m²		 N 63.184107°
W 18.704224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448036193847656 y=0.271781921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448036193847656 × 216)
    floor (0.448036193847656 × 65536)
    floor (29362.5)     		tx = 29362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271781921386719 × 216)
    floor (0.271781921386719 × 65536)
    floor (17811.5)     		ty = 17811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29362 / 17811 ti = "16/29362/17811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29362/17811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29362 ÷ 216
    29362 ÷ 65536     		x = 0.448028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17811 ÷ 216
    17811 ÷ 65536     		y = 0.271774291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.10394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32654616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271774291992188 × 2 - 1) × π
    0.456451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43398441523436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32654616} λ = -0.32654616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43398441523436))-π/2
    2×atan(4.19538207834591)-π/2
    2×1.33680514530375-π/2
    2.6736102906075-1.57079632675     		φ = 1.10281396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32654616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.709717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10281396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.186585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29362 KachelY 17811 -0.32654616 1.10281396 -18.709717 63.186585
    Oben rechts KachelX + 1 29363 KachelY 17811 -0.32645029 1.10281396 -18.704224 63.186585
    Unten links KachelX 29362 KachelY + 1 17812 -0.32654616 1.10277071 -18.709717 63.184107
    Unten rechts KachelX + 1 29363 KachelY + 1 17812 -0.32645029 1.10277071 -18.704224 63.184107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10281396-1.10277071) × R
    4.32500000000502e-05 × 6371000     		dl = 275.54575000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10281396-1.10277071) × R
    4.32500000000502e-05 × 6371000     		dr = 275.54575000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32654616--0.32645029) × cos(1.10281396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451086507002327 × 6371000     		do = 275.518121689034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32654616--0.32645029) × cos(1.10277071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451125106350424 × 6371000     		du = 275.541697698782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10281396)-sin(1.10277071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451086507002327-0.451125106350424)×R²
    abs(-0.32645029--0.32654616)×3.85993480975233e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85993480975233e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85993480975233e-05×40589641000000     		ar = 75921.0956262528m²