Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29360 / 14659
↖ ↑ ↗
← N 70.014956°
W 18.720703°		 ← 208.77 m → N 70.014956°
W 18.715210°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
N 70.013079°
W 18.720703°		 ← 208.79 m →
43 576 m²		 N 70.013079°
W 18.715210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448005676269531 y=0.223686218261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448005676269531 × 216)
    floor (0.448005676269531 × 65536)
    floor (29360.5)     		tx = 29360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223686218261719 × 216)
    floor (0.223686218261719 × 65536)
    floor (14659.5)     		ty = 14659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29360 / 14659 ti = "16/29360/14659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29360/14659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29360 ÷ 216
    29360 ÷ 65536     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14659 ÷ 216
    14659 ÷ 65536     		y = 0.223678588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223678588867188 × 2 - 1) × π
    0.552642822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73617863043919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73617863043919))-π/2
    2×atan(5.67561331377097)-π/2
    2×1.39639391544954-π/2
    2.79278783089908-1.57079632675     		φ = 1.22199150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22199150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.014956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29360 KachelY 14659 -0.32673791 1.22199150 -18.720703 70.014956
    Oben rechts KachelX + 1 29361 KachelY 14659 -0.32664203 1.22199150 -18.715210 70.014956
    Unten links KachelX 29360 KachelY + 1 14660 -0.32673791 1.22195874 -18.720703 70.013079
    Unten rechts KachelX + 1 29361 KachelY + 1 14660 -0.32664203 1.22195874 -18.715210 70.013079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22199150-1.22195874) × R
    3.2759999999854e-05 × 6371000     		dl = 208.71395999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22199150-1.22195874) × R
    3.2759999999854e-05 × 6371000     		dr = 208.71395999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32664203) × cos(1.22199150) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341774849722469 × 6371000     		do = 208.773672779732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32664203) × cos(1.22195874) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341805636792932 × 6371000     		du = 208.792479107289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22199150)-sin(1.22195874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341774849722469-0.341805636792932)×R²
    abs(-0.32664203--0.32673791)×3.07870704630009e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.07870704630009e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.07870704630009e-05×40589641000000     		ar = 43575.9425647556m²