Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29359 / 42955
↖ ↑ ↗
← S 48.730832°
W 18.726196°		 ← 402.87 m → S 48.730832°
W 18.720703°		 →
↑
402.90 m
↓
↑
402.90 m
↓
S 48.734456°
W 18.726196°		 ← 402.84 m →
162 313 m²		 S 48.734456°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447990417480469 y=0.655448913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447990417480469 × 216)
    floor (0.447990417480469 × 65536)
    floor (29359.5)     		tx = 29359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655448913574219 × 216)
    floor (0.655448913574219 × 65536)
    floor (42955.5)     		ty = 42955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29359 / 42955 ti = "16/29359/42955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29359/42955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29359 ÷ 216
    29359 ÷ 65536     		x = 0.447982788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42955 ÷ 216
    42955 ÷ 65536     		y = 0.655441284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447982788085938 × 2 - 1) × π
    -0.104034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32683378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655441284179688 × 2 - 1) × π
    -0.310882568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.976666392859024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32683378} λ = -0.32683378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976666392859024))-π/2
    2×atan(0.376564326334075)-π/2
    2×0.360141428615146-π/2
    0.720282857230293-1.57079632675     		φ = -0.85051347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32683378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.726196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85051347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.730832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29359 KachelY 42955 -0.32683378 -0.85051347 -18.726196 -48.730832
    Oben rechts KachelX + 1 29360 KachelY 42955 -0.32673791 -0.85051347 -18.720703 -48.730832
    Unten links KachelX 29359 KachelY + 1 42956 -0.32683378 -0.85057671 -18.726196 -48.734456
    Unten rechts KachelX + 1 29360 KachelY + 1 42956 -0.32673791 -0.85057671 -18.720703 -48.734456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85051347--0.85057671) × R
    6.32400000000199e-05 × 6371000     		dl = 402.902040000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85051347--0.85057671) × R
    6.32400000000199e-05 × 6371000     		dr = 402.902040000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32683378--0.32673791) × cos(-0.85051347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659597298949554 × 6371000     		do = 402.873963323413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32683378--0.32673791) × cos(-0.85057671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659549765233197 × 6371000     		du = 402.844930310799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85051347)-sin(-0.85057671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659597298949554-0.659549765233197)×R²
    abs(-0.32673791--0.32683378)×4.75337163571288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75337163571288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75337163571288e-05×40589641000000     		ar = 162312.89301009m²