Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29359 / 42954
↖ ↑ ↗
← S 48.727209°
W 18.726196°		 ← 402.90 m → S 48.727209°
W 18.720703°		 →
↑
402.90 m
↓
↑
402.90 m
↓
S 48.730832°
W 18.726196°		 ← 402.87 m →
162 325 m²		 S 48.730832°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447990417480469 y=0.655433654785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447990417480469 × 216)
    floor (0.447990417480469 × 65536)
    floor (29359.5)     		tx = 29359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655433654785156 × 216)
    floor (0.655433654785156 × 65536)
    floor (42954.5)     		ty = 42954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29359 / 42954 ti = "16/29359/42954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29359/42954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29359 ÷ 216
    29359 ÷ 65536     		x = 0.447982788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42954 ÷ 216
    42954 ÷ 65536     		y = 0.655426025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447982788085938 × 2 - 1) × π
    -0.104034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32683378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655426025390625 × 2 - 1) × π
    -0.31085205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.976570519059784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32683378} λ = -0.32683378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976570519059784))-π/2
    2×atan(0.376600430717403)-π/2
    2×0.360173048803921-π/2
    0.720346097607843-1.57079632675     		φ = -0.85045023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32683378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.726196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85045023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.727209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29359 KachelY 42954 -0.32683378 -0.85045023 -18.726196 -48.727209
    Oben rechts KachelX + 1 29360 KachelY 42954 -0.32673791 -0.85045023 -18.720703 -48.727209
    Unten links KachelX 29359 KachelY + 1 42955 -0.32683378 -0.85051347 -18.726196 -48.730832
    Unten rechts KachelX + 1 29360 KachelY + 1 42955 -0.32673791 -0.85051347 -18.720703 -48.730832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85045023--0.85051347) × R
    6.32400000000199e-05 × 6371000     		dl = 402.902040000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85045023--0.85051347) × R
    6.32400000000199e-05 × 6371000     		dr = 402.902040000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32683378--0.32673791) × cos(-0.85045023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659644830027985 × 6371000     		do = 402.902994724813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32683378--0.32673791) × cos(-0.85051347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659597298949554 × 6371000     		du = 402.873963323413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85045023)-sin(-0.85051347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659644830027985-0.659597298949554)×R²
    abs(-0.32673791--0.32683378)×4.75310784313621e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75310784313621e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75310784313621e-05×40589641000000     		ar = 162324.590145566m²