Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29357 / 42957
↖ ↑ ↗
← S 48.738078°
W 18.737183°		 ← 402.82 m → S 48.738078°
W 18.731690°		 →
↑
402.77 m
↓
↑
402.77 m
↓
S 48.741701°
W 18.737183°		 ← 402.79 m →
162 238 m²		 S 48.741701°
W 18.731690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447959899902344 y=0.655479431152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447959899902344 × 216)
    floor (0.447959899902344 × 65536)
    floor (29357.5)     		tx = 29357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655479431152344 × 216)
    floor (0.655479431152344 × 65536)
    floor (42957.5)     		ty = 42957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29357 / 42957 ti = "16/29357/42957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29357/42957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29357 ÷ 216
    29357 ÷ 65536     		x = 0.447952270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42957 ÷ 216
    42957 ÷ 65536     		y = 0.655471801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447952270507812 × 2 - 1) × π
    -0.104095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32702553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655471801757812 × 2 - 1) × π
    -0.310943603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.976858140457504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32702553} λ = -0.32702553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976858140457504))-π/2
    2×atan(0.376492127950981)-π/2
    2×0.36007819507302-π/2
    0.720156390146041-1.57079632675     		φ = -0.85063994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32702553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.737183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85063994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.738078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29357 KachelY 42957 -0.32702553 -0.85063994 -18.737183 -48.738078
    Oben rechts KachelX + 1 29358 KachelY 42957 -0.32692966 -0.85063994 -18.731690 -48.738078
    Unten links KachelX 29357 KachelY + 1 42958 -0.32702553 -0.85070316 -18.737183 -48.741701
    Unten rechts KachelX + 1 29358 KachelY + 1 42958 -0.32692966 -0.85070316 -18.731690 -48.741701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85063994--0.85070316) × R
    6.32200000000305e-05 × 6371000     		dl = 402.774620000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85063994--0.85070316) × R
    6.32200000000305e-05 × 6371000     		dr = 402.774620000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32702553--0.32692966) × cos(-0.85063994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65950223639613 × 6371000     		do = 402.815900278396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32702553--0.32692966) × cos(-0.85070316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659454712439794 × 6371000     		du = 402.786873227084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85063994)-sin(-0.85070316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65950223639613-0.659454712439794)×R²
    abs(-0.32692966--0.32702553)×4.75239563356711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75239563356711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75239563356711e-05×40589641000000     		ar = 162238.175538931m²