Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29357 / 18866
↖ ↑ ↗
← N 60.451800°
W 18.737183°		 ← 301.21 m → N 60.451800°
W 18.731690°		 →
↑
301.22 m
↓
↑
301.22 m
↓
N 60.449091°
W 18.737183°		 ← 301.24 m →
90 736 m²		 N 60.449091°
W 18.731690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447959899902344 y=0.287879943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447959899902344 × 216)
    floor (0.447959899902344 × 65536)
    floor (29357.5)     		tx = 29357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287879943847656 × 216)
    floor (0.287879943847656 × 65536)
    floor (18866.5)     		ty = 18866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29357 / 18866 ti = "16/29357/18866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29357/18866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29357 ÷ 216
    29357 ÷ 65536     		x = 0.447952270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18866 ÷ 216
    18866 ÷ 65536     		y = 0.287872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447952270507812 × 2 - 1) × π
    -0.104095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32702553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287872314453125 × 2 - 1) × π
    0.42425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.33283755703604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32702553} λ = -0.32702553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33283755703604))-π/2
    2×atan(3.79178755021482)-π/2
    2×1.31293964021647-π/2
    2.62587928043294-1.57079632675     		φ = 1.05508295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32702553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.737183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05508295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.451800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29357 KachelY 18866 -0.32702553 1.05508295 -18.737183 60.451800
    Oben rechts KachelX + 1 29358 KachelY 18866 -0.32692966 1.05508295 -18.731690 60.451800
    Unten links KachelX 29357 KachelY + 1 18867 -0.32702553 1.05503567 -18.737183 60.449091
    Unten rechts KachelX + 1 29358 KachelY + 1 18867 -0.32692966 1.05503567 -18.731690 60.449091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05508295-1.05503567) × R
    4.72799999999829e-05 × 6371000     		dl = 301.220879999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05508295-1.05503567) × R
    4.72799999999829e-05 × 6371000     		dr = 301.220879999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32702553--0.32692966) × cos(1.05508295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493155570289229 × 6371000     		do = 301.21339104003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32702553--0.32692966) × cos(1.05503567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493196700555016 × 6371000     		du = 301.238512903349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05508295)-sin(1.05503567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493155570289229-0.493196700555016)×R²
    abs(-0.32692966--0.32702553)×4.11302657872259e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11302657872259e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11302657872259e-05×40589641000000     		ar = 90735.5463487463m²