Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29357 / 17822
↖ ↑ ↗
← N 63.159316°
W 18.737183°		 ← 275.78 m → N 63.159316°
W 18.731690°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
N 63.156836°
W 18.737183°		 ← 275.80 m →
76 063 m²		 N 63.156836°
W 18.731690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447959899902344 y=0.271949768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447959899902344 × 216)
    floor (0.447959899902344 × 65536)
    floor (29357.5)     		tx = 29357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271949768066406 × 216)
    floor (0.271949768066406 × 65536)
    floor (17822.5)     		ty = 17822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29357 / 17822 ti = "16/29357/17822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29357/17822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29357 ÷ 216
    29357 ÷ 65536     		x = 0.447952270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17822 ÷ 216
    17822 ÷ 65536     		y = 0.271942138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447952270507812 × 2 - 1) × π
    -0.104095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32702553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271942138671875 × 2 - 1) × π
    0.45611572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43292980344272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32702553} λ = -0.32702553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43292980344272))-π/2
    2×atan(4.19095991118033)-π/2
    2×1.33656717276514-π/2
    2.67313434553029-1.57079632675     		φ = 1.10233802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32702553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.737183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10233802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.159316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29357 KachelY 17822 -0.32702553 1.10233802 -18.737183 63.159316
    Oben rechts KachelX + 1 29358 KachelY 17822 -0.32692966 1.10233802 -18.731690 63.159316
    Unten links KachelX 29357 KachelY + 1 17823 -0.32702553 1.10229473 -18.737183 63.156836
    Unten rechts KachelX + 1 29358 KachelY + 1 17823 -0.32692966 1.10229473 -18.731690 63.156836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10233802-1.10229473) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dl = 275.800590000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10233802-1.10229473) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dr = 275.800590000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32702553--0.32692966) × cos(1.10233802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451511222937754 × 6371000     		do = 275.777532988118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32702553--0.32692966) × cos(1.10229473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451549848685572 × 6371000     		du = 275.801125122492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10233802)-sin(1.10229473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451511222937754-0.451549848685572)×R²
    abs(-0.32692966--0.32702553)×3.86257478175445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86257478175445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86257478175445e-05×40589641000000     		ar = 76062.8596808947m²