Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29356 / 43027
↖ ↑ ↗
← S 48.991032°
W 18.742676°		 ← 400.78 m → S 48.991032°
W 18.737183°		 →
↑
400.74 m
↓
↑
400.74 m
↓
S 48.994636°
W 18.742676°		 ← 400.76 m →
160 603 m²		 S 48.994636°
W 18.737183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447944641113281 y=0.656547546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447944641113281 × 216)
    floor (0.447944641113281 × 65536)
    floor (29356.5)     		tx = 29356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656547546386719 × 216)
    floor (0.656547546386719 × 65536)
    floor (43027.5)     		ty = 43027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29356 / 43027 ti = "16/29356/43027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29356/43027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29356 ÷ 216
    29356 ÷ 65536     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43027 ÷ 216
    43027 ÷ 65536     		y = 0.656539916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656539916992188 × 2 - 1) × π
    -0.313079833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.983569306404312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983569306404312))-π/2
    2×atan(0.37397388642277)-π/2
    2×0.357870760502817-π/2
    0.715741521005633-1.57079632675     		φ = -0.85505481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85505481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.991032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29356 KachelY 43027 -0.32712140 -0.85505481 -18.742676 -48.991032
    Oben rechts KachelX + 1 29357 KachelY 43027 -0.32702553 -0.85505481 -18.737183 -48.991032
    Unten links KachelX 29356 KachelY + 1 43028 -0.32712140 -0.85511771 -18.742676 -48.994636
    Unten rechts KachelX + 1 29357 KachelY + 1 43028 -0.32702553 -0.85511771 -18.737183 -48.994636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85505481--0.85511771) × R
    6.28999999999769e-05 × 6371000     		dl = 400.735899999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85505481--0.85511771) × R
    6.28999999999769e-05 × 6371000     		dr = 400.735899999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32702553) × cos(-0.85505481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656177150721222 × 6371000     		do = 400.78497861396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32702553) × cos(-0.85511771) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656129684650302 × 6371000     		du = 400.755986918352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85505481)-sin(-0.85511771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656177150721222-0.656129684650302)×R²
    abs(-0.32702553--0.32712140)×4.74660709206542e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74660709206542e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74660709206542e-05×40589641000000     		ar = 160603.12015772m²