Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29356 / 43022
↖ ↑ ↗
← S 48.973006°
W 18.742676°		 ← 400.93 m → S 48.973006°
W 18.737183°		 →
↑
400.93 m
↓
↑
400.93 m
↓
S 48.976612°
W 18.742676°		 ← 400.90 m →
160 738 m²		 S 48.976612°
W 18.737183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447944641113281 y=0.656471252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447944641113281 × 216)
    floor (0.447944641113281 × 65536)
    floor (29356.5)     		tx = 29356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656471252441406 × 216)
    floor (0.656471252441406 × 65536)
    floor (43022.5)     		ty = 43022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29356 / 43022 ti = "16/29356/43022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29356/43022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29356 ÷ 216
    29356 ÷ 65536     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43022 ÷ 216
    43022 ÷ 65536     		y = 0.656463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.31292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.983089937408112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983089937408112))-π/2
    2×atan(0.374153200884773)-π/2
    2×0.358028064441486-π/2
    0.716056128882971-1.57079632675     		φ = -0.85474020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85474020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.973006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29356 KachelY 43022 -0.32712140 -0.85474020 -18.742676 -48.973006
    Oben rechts KachelX + 1 29357 KachelY 43022 -0.32702553 -0.85474020 -18.737183 -48.973006
    Unten links KachelX 29356 KachelY + 1 43023 -0.32712140 -0.85480313 -18.742676 -48.976612
    Unten rechts KachelX + 1 29357 KachelY + 1 43023 -0.32702553 -0.85480313 -18.737183 -48.976612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85474020--0.85480313) × R
    6.29300000000166e-05 × 6371000     		dl = 400.927030000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85474020--0.85480313) × R
    6.29300000000166e-05 × 6371000     		dr = 400.927030000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32702553) × cos(-0.85474020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656414525114531 × 6371000     		do = 400.929963990305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32702553) × cos(-0.85480313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656367049397308 × 6371000     		du = 400.900966402853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85474020)-sin(-0.85480313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656414525114531-0.656367049397308)×R²
    abs(-0.32702553--0.32712140)×4.74757172232998e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74757172232998e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74757172232998e-05×40589641000000     		ar = 160737.846795425m²