Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29356 / 18869
↖ ↑ ↗
← N 60.443672°
W 18.742676°		 ← 301.29 m → N 60.443672°
W 18.737183°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
N 60.440963°
W 18.742676°		 ← 301.31 m →
90 777 m²		 N 60.440963°
W 18.737183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447944641113281 y=0.287925720214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447944641113281 × 216)
    floor (0.447944641113281 × 65536)
    floor (29356.5)     		tx = 29356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287925720214844 × 216)
    floor (0.287925720214844 × 65536)
    floor (18869.5)     		ty = 18869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29356 / 18869 ti = "16/29356/18869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29356/18869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29356 ÷ 216
    29356 ÷ 65536     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18869 ÷ 216
    18869 ÷ 65536     		y = 0.287918090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287918090820312 × 2 - 1) × π
    0.424163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.33254993563832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33254993563832))-π/2
    2×atan(3.79069710780457)-π/2
    2×1.3128687102965-π/2
    2.62573742059301-1.57079632675     		φ = 1.05494109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05494109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.443672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29356 KachelY 18869 -0.32712140 1.05494109 -18.742676 60.443672
    Oben rechts KachelX + 1 29357 KachelY 18869 -0.32702553 1.05494109 -18.737183 60.443672
    Unten links KachelX 29356 KachelY + 1 18870 -0.32712140 1.05489380 -18.742676 60.440963
    Unten rechts KachelX + 1 29357 KachelY + 1 18870 -0.32702553 1.05489380 -18.737183 60.440963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05494109-1.05489380) × R
    4.72899999999221e-05 × 6371000     		dl = 301.284589999504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05494109-1.05489380) × R
    4.72899999999221e-05 × 6371000     		dr = 301.284589999504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32702553) × cos(1.05494109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493278975176449 × 6371000     		do = 301.288765235902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32702553) × cos(1.05489380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493320110832499 × 6371000     		du = 301.313890391528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05494109)-sin(1.05489380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493278975176449-0.493320110832499)×R²
    abs(-0.32702553--0.32712140)×4.11356560499621e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11356560499621e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11356560499621e-05×40589641000000     		ar = 90777.4470334741m²