Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29355 / 42948
↖ ↑ ↗
← S 48.705463°
W 18.748169°		 ← 403.12 m → S 48.705463°
W 18.742676°		 →
↑
403.09 m
↓
↑
403.09 m
↓
S 48.709088°
W 18.748169°		 ← 403.09 m →
162 489 m²		 S 48.709088°
W 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447929382324219 y=0.655342102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447929382324219 × 216)
    floor (0.447929382324219 × 65536)
    floor (29355.5)     		tx = 29355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655342102050781 × 216)
    floor (0.655342102050781 × 65536)
    floor (42948.5)     		ty = 42948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29355 / 42948 ti = "16/29355/42948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29355/42948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29355 ÷ 216
    29355 ÷ 65536     		x = 0.447921752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42948 ÷ 216
    42948 ÷ 65536     		y = 0.65533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447921752929688 × 2 - 1) × π
    -0.104156494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32721728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.3106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.975995276264343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32721728} λ = -0.32721728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975995276264343))-π/2
    2×atan(0.376817129723229)-π/2
    2×0.360362817786914-π/2
    0.720725635573829-1.57079632675     		φ = -0.85007069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32721728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.748169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85007069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.705463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29355 KachelY 42948 -0.32721728 -0.85007069 -18.748169 -48.705463
    Oben rechts KachelX + 1 29356 KachelY 42948 -0.32712140 -0.85007069 -18.742676 -48.705463
    Unten links KachelX 29355 KachelY + 1 42949 -0.32721728 -0.85013396 -18.748169 -48.709088
    Unten rechts KachelX + 1 29356 KachelY + 1 42949 -0.32712140 -0.85013396 -18.742676 -48.709088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85007069--0.85013396) × R
    6.32699999999486e-05 × 6371000     		dl = 403.093169999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85007069--0.85013396) × R
    6.32699999999486e-05 × 6371000     		dr = 403.093169999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32721728--0.32712140) × cos(-0.85007069) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.659930036224194 × 6371000     		do = 403.119239323972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32721728--0.32712140) × cos(-0.85013396) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.659882498440419 × 6371000     		du = 403.090200798397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85007069)-sin(-0.85013396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659930036224194-0.659882498440419)×R²
    abs(-0.32712140--0.32721728)×4.75377837750868e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75377837750868e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75377837750868e-05×40589641000000     		ar = 162488.759505682m²