Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29355 / 19577
↖ ↑ ↗
← N 58.467848°
W 18.748169°		 ← 319.46 m → N 58.467848°
W 18.742676°		 →
↑
319.51 m
↓
↑
319.51 m
↓
N 58.464975°
W 18.748169°		 ← 319.49 m →
102 074 m²		 N 58.464975°
W 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447929382324219 y=0.298728942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447929382324219 × 216)
    floor (0.447929382324219 × 65536)
    floor (29355.5)     		tx = 29355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298728942871094 × 216)
    floor (0.298728942871094 × 65536)
    floor (19577.5)     		ty = 19577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29355 / 19577 ti = "16/29355/19577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29355/19577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29355 ÷ 216
    29355 ÷ 65536     		x = 0.447921752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19577 ÷ 216
    19577 ÷ 65536     		y = 0.298721313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447921752929688 × 2 - 1) × π
    -0.104156494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32721728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298721313476562 × 2 - 1) × π
    0.402557373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26467128577632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32721728} λ = -0.32721728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26467128577632))-π/2
    2×atan(3.54192826253081)-π/2
    2×1.29562639171657-π/2
    2.59125278343315-1.57079632675     		φ = 1.02045646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32721728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.748169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02045646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.467848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29355 KachelY 19577 -0.32721728 1.02045646 -18.748169 58.467848
    Oben rechts KachelX + 1 29356 KachelY 19577 -0.32712140 1.02045646 -18.742676 58.467848
    Unten links KachelX 29355 KachelY + 1 19578 -0.32721728 1.02040631 -18.748169 58.464975
    Unten rechts KachelX + 1 29356 KachelY + 1 19578 -0.32712140 1.02040631 -18.742676 58.464975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02045646-1.02040631) × R
    5.014999999986e-05 × 6371000     		dl = 319.505649999108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02045646-1.02040631) × R
    5.014999999986e-05 × 6371000     		dr = 319.505649999108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32721728--0.32712140) × cos(1.02045646) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.522976943514311 × 6371000     		do = 319.461239951568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32721728--0.32712140) × cos(1.02040631) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.523019688050107 × 6371000     		du = 319.487350514522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02045646)-sin(1.02040631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522976943514311-0.523019688050107)×R²
    abs(-0.32712140--0.32721728)×4.27445357964462e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.27445357964462e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.27445357964462e-05×40589641000000     		ar = 102073.842377795m²