Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29355 / 18876
↖ ↑ ↗
← N 60.424699°
W 18.748169°		 ← 301.50 m → N 60.424699°
W 18.742676°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
N 60.421988°
W 18.748169°		 ← 301.52 m →
90 898 m²		 N 60.421988°
W 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447929382324219 y=0.288032531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447929382324219 × 216)
    floor (0.447929382324219 × 65536)
    floor (29355.5)     		tx = 29355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288032531738281 × 216)
    floor (0.288032531738281 × 65536)
    floor (18876.5)     		ty = 18876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29355 / 18876 ti = "16/29355/18876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29355/18876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29355 ÷ 216
    29355 ÷ 65536     		x = 0.447921752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18876 ÷ 216
    18876 ÷ 65536     		y = 0.28802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447921752929688 × 2 - 1) × π
    -0.104156494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32721728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28802490234375 × 2 - 1) × π
    0.4239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33187881904364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32721728} λ = -0.32721728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33187881904364))-π/2
    2×atan(3.7881539615394)-π/2
    2×1.31270313812304-π/2
    2.62540627624608-1.57079632675     		φ = 1.05460995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32721728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.748169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05460995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.424699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29355 KachelY 18876 -0.32721728 1.05460995 -18.748169 60.424699
    Oben rechts KachelX + 1 29356 KachelY 18876 -0.32712140 1.05460995 -18.742676 60.424699
    Unten links KachelX 29355 KachelY + 1 18877 -0.32721728 1.05456263 -18.748169 60.421988
    Unten rechts KachelX + 1 29356 KachelY + 1 18877 -0.32712140 1.05456263 -18.742676 60.421988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05460995-1.05456263) × R
    4.73199999999618e-05 × 6371000     		dl = 301.475719999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05460995-1.05456263) × R
    4.73199999999618e-05 × 6371000     		dr = 301.475719999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32721728--0.32712140) × cos(1.05460995) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.493566997265534 × 6371000     		do = 301.496130758784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32721728--0.32712140) × cos(1.05456263) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.493608151284983 × 6371000     		du = 301.521269752473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05460995)-sin(1.05456263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493566997265534-0.493608151284983)×R²
    abs(-0.32712140--0.32721728)×4.11540194489302e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.11540194489302e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.11540194489302e-05×40589641000000     		ar = 90897.5525128692m²