Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29354 / 19579
↖ ↑ ↗
← N 58.462102°
W 18.753662°		 ← 319.48 m → N 58.462102°
W 18.748169°		 →
↑
319.51 m
↓
↑
319.51 m
↓
N 58.459229°
W 18.753662°		 ← 319.51 m →
102 080 m²		 N 58.459229°
W 18.748169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447914123535156 y=0.298759460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447914123535156 × 216)
    floor (0.447914123535156 × 65536)
    floor (29354.5)     		tx = 29354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298759460449219 × 216)
    floor (0.298759460449219 × 65536)
    floor (19579.5)     		ty = 19579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29354 / 19579 ti = "16/29354/19579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29354/19579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29354 ÷ 216
    29354 ÷ 65536     		x = 0.447906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19579 ÷ 216
    19579 ÷ 65536     		y = 0.298751831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298751831054688 × 2 - 1) × π
    0.402496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26447953817784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32731315} λ = -0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26447953817784))-π/2
    2×atan(3.54124917140161)-π/2
    2×1.29557624783236-π/2
    2.59115249566472-1.57079632675     		φ = 1.02035617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02035617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.462102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29354 KachelY 19579 -0.32731315 1.02035617 -18.753662 58.462102
    Oben rechts KachelX + 1 29355 KachelY 19579 -0.32721728 1.02035617 -18.748169 58.462102
    Unten links KachelX 29354 KachelY + 1 19580 -0.32731315 1.02030602 -18.753662 58.459229
    Unten rechts KachelX + 1 29355 KachelY + 1 19580 -0.32721728 1.02030602 -18.748169 58.459229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02035617-1.02030602) × R
    5.014999999986e-05 × 6371000     		dl = 319.505649999108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02035617-1.02030602) × R
    5.014999999986e-05 × 6371000     		dr = 319.505649999108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32731315--0.32721728) × cos(1.02035617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523062422747554 × 6371000     		do = 319.480130760769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32731315--0.32721728) × cos(1.02030602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523105164652693 × 6371000     		du = 319.506236993694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02035617)-sin(1.02030602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523062422747554-0.523105164652693)×R²
    abs(-0.32721728--0.32731315)×4.27419051387545e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27419051387545e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27419051387545e-05×40589641000000     		ar = 102079.877406149m²