Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29353 / 19580
↖ ↑ ↗
← N 58.459229°
W 18.759155°		 ← 319.51 m → N 58.459229°
W 18.753662°		 →
↑
319.57 m
↓
↑
319.57 m
↓
N 58.456355°
W 18.759155°		 ← 319.53 m →
102 109 m²		 N 58.456355°
W 18.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447898864746094 y=0.298774719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447898864746094 × 216)
    floor (0.447898864746094 × 65536)
    floor (29353.5)     		tx = 29353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298774719238281 × 216)
    floor (0.298774719238281 × 65536)
    floor (19580.5)     		ty = 19580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29353 / 19580 ti = "16/29353/19580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29353/19580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29353 ÷ 216
    29353 ÷ 65536     		x = 0.447891235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19580 ÷ 216
    19580 ÷ 65536     		y = 0.29876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447891235351562 × 2 - 1) × π
    -0.104217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32740902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29876708984375 × 2 - 1) × π
    0.4024658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2643836643786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32740902} λ = -0.32740902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2643836643786))-π/2
    2×atan(3.54090967466417)-π/2
    2×1.29555117281701-π/2
    2.59110234563402-1.57079632675     		φ = 1.02030602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32740902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.759155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02030602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.459229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29353 KachelY 19580 -0.32740902 1.02030602 -18.759155 58.459229
    Oben rechts KachelX + 1 29354 KachelY 19580 -0.32731315 1.02030602 -18.753662 58.459229
    Unten links KachelX 29353 KachelY + 1 19581 -0.32740902 1.02025586 -18.759155 58.456355
    Unten rechts KachelX + 1 29354 KachelY + 1 19581 -0.32731315 1.02025586 -18.753662 58.456355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02030602-1.02025586) × R
    5.01600000000213e-05 × 6371000     		dl = 319.569360000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02030602-1.02025586) × R
    5.01600000000213e-05 × 6371000     		dr = 319.569360000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32740902--0.32731315) × cos(1.02030602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523105164652693 × 6371000     		do = 319.506236993694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32740902--0.32731315) × cos(1.02025586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523147913764629 × 6371000     		du = 319.532347628443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02030602)-sin(1.02025586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523105164652693-0.523147913764629)×R²
    abs(-0.32731315--0.32740902)×4.27491119366907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27491119366907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27491119366907e-05×40589641000000     		ar = 102108.575773262m²