Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29352 / 42900
↖ ↑ ↗
← S 48.531157°
W 18.764649°		 ← 404.51 m → S 48.531157°
W 18.759155°		 →
↑
404.49 m
↓
↑
404.49 m
↓
S 48.534795°
W 18.764649°		 ← 404.48 m →
163 618 m²		 S 48.534795°
W 18.759155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447883605957031 y=0.654609680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447883605957031 × 216)
    floor (0.447883605957031 × 65536)
    floor (29352.5)     		tx = 29352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654609680175781 × 216)
    floor (0.654609680175781 × 65536)
    floor (42900.5)     		ty = 42900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29352 / 42900 ti = "16/29352/42900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29352/42900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29352 ÷ 216
    29352 ÷ 65536     		x = 0.4478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42900 ÷ 216
    42900 ÷ 65536     		y = 0.65460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.3092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.971393333900818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32750490} λ = -0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971393333900818))-π/2
    2×atan(0.378555216656334)-π/2
    2×0.361883923584705-π/2
    0.723767847169409-1.57079632675     		φ = -0.84702848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84702848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.531157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29352 KachelY 42900 -0.32750490 -0.84702848 -18.764649 -48.531157
    Oben rechts KachelX + 1 29353 KachelY 42900 -0.32740902 -0.84702848 -18.759155 -48.531157
    Unten links KachelX 29352 KachelY + 1 42901 -0.32750490 -0.84709197 -18.764649 -48.534795
    Unten rechts KachelX + 1 29353 KachelY + 1 42901 -0.32740902 -0.84709197 -18.759155 -48.534795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84702848--0.84709197) × R
    6.34900000000549e-05 × 6371000     		dl = 404.49479000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84702848--0.84709197) × R
    6.34900000000549e-05 × 6371000     		dr = 404.49479000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32750490--0.32740902) × cos(-0.84702848) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662212673548365 × 6371000     		do = 404.513591711745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32750490--0.32740902) × cos(-0.84709197) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.662165098144808 × 6371000     		du = 404.48453020607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84702848)-sin(-0.84709197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662212673548365-0.662165098144808)×R²
    abs(-0.32740902--0.32750490)×4.7575403556932e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7575403556932e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7575403556932e-05×40589641000000     		ar = 163617.762772578m²