Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29352 / 14700
↖ ↑ ↗
← N 69.937839°
W 18.764649°		 ← 209.55 m → N 69.937839°
W 18.759155°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
N 69.935954°
W 18.764649°		 ← 209.57 m →
43 911 m²		 N 69.935954°
W 18.759155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447883605957031 y=0.224311828613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447883605957031 × 216)
    floor (0.447883605957031 × 65536)
    floor (29352.5)     		tx = 29352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224311828613281 × 216)
    floor (0.224311828613281 × 65536)
    floor (14700.5)     		ty = 14700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29352 / 14700 ti = "16/29352/14700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29352/14700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29352 ÷ 216
    29352 ÷ 65536     		x = 0.4478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14700 ÷ 216
    14700 ÷ 65536     		y = 0.22430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22430419921875 × 2 - 1) × π
    0.5513916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73224780467035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32750490} λ = -0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73224780467035))-π/2
    2×atan(5.65334725736746)-π/2
    2×1.39572094471493-π/2
    2.79144188942985-1.57079632675     		φ = 1.22064556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22064556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.937839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29352 KachelY 14700 -0.32750490 1.22064556 -18.764649 69.937839
    Oben rechts KachelX + 1 29353 KachelY 14700 -0.32740902 1.22064556 -18.759155 69.937839
    Unten links KachelX 29352 KachelY + 1 14701 -0.32750490 1.22061267 -18.764649 69.935954
    Unten rechts KachelX + 1 29353 KachelY + 1 14701 -0.32740902 1.22061267 -18.759155 69.935954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22064556-1.22061267) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dl = 209.542189999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22064556-1.22061267) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dr = 209.542189999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32750490--0.32740902) × cos(1.22064556) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.343039429770903 × 6371000     		do = 209.546143373896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32750490--0.32740902) × cos(1.22061267) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.343070323853196 × 6371000     		du = 209.565015069788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22064556)-sin(1.22061267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343039429770903-0.343070323853196)×R²
    abs(-0.32740902--0.32750490)×3.08940822928427e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.08940822928427e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.08940822928427e-05×40589641000000     		ar = 43910.7350004971m²