Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29351 / 14952
↖ ↑ ↗
← N 69.457554°
W 18.770141°		 ← 214.33 m → N 69.457554°
W 18.764649°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
N 69.455626°
W 18.770141°		 ← 214.35 m →
45 937 m²		 N 69.455626°
W 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447868347167969 y=0.228157043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447868347167969 × 216)
    floor (0.447868347167969 × 65536)
    floor (29351.5)     		tx = 29351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228157043457031 × 216)
    floor (0.228157043457031 × 65536)
    floor (14952.5)     		ty = 14952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29351 / 14952 ti = "16/29351/14952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29351/14952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29351 ÷ 216
    29351 ÷ 65536     		x = 0.447860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14952 ÷ 216
    14952 ÷ 65536     		y = 0.2281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447860717773438 × 2 - 1) × π
    -0.104278564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32760077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2281494140625 × 2 - 1) × π
    0.543701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70808760726184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32760077} λ = -0.32760077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70808760726184))-π/2
    2×atan(5.51839803578879)-π/2
    2×1.39152966387043-π/2
    2.78305932774087-1.57079632675     		φ = 1.21226300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32760077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.770141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21226300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.457554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29351 KachelY 14952 -0.32760077 1.21226300 -18.770141 69.457554
    Oben rechts KachelX + 1 29352 KachelY 14952 -0.32750490 1.21226300 -18.764649 69.457554
    Unten links KachelX 29351 KachelY + 1 14953 -0.32760077 1.21222936 -18.770141 69.455626
    Unten rechts KachelX + 1 29352 KachelY + 1 14953 -0.32750490 1.21222936 -18.764649 69.455626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21226300-1.21222936) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dl = 214.320440000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21226300-1.21222936) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dr = 214.320440000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32760077--0.32750490) × cos(1.21226300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350901200079368 × 6371000     		do = 214.326161486796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32760077--0.32750490) × cos(1.21222936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350932700796911 × 6371000     		du = 214.345401739818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21226300)-sin(1.21222936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350901200079368-0.350932700796911)×R²
    abs(-0.32750490--0.32760077)×3.15007175435977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15007175435977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15007175435977e-05×40589641000000     		ar = 45936.5390275513m²