Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29350 / 14954
↖ ↑ ↗
← N 69.453698°
W 18.775635°		 ← 214.39 m → N 69.453698°
W 18.770141°		 →
↑
214.38 m
↓
↑
214.38 m
↓
N 69.451770°
W 18.775635°		 ← 214.41 m →
45 963 m²		 N 69.451770°
W 18.770141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447853088378906 y=0.228187561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447853088378906 × 216)
    floor (0.447853088378906 × 65536)
    floor (29350.5)     		tx = 29350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228187561035156 × 216)
    floor (0.228187561035156 × 65536)
    floor (14954.5)     		ty = 14954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29350 / 14954 ti = "16/29350/14954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29350/14954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29350 ÷ 216
    29350 ÷ 65536     		x = 0.447845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14954 ÷ 216
    14954 ÷ 65536     		y = 0.228179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447845458984375 × 2 - 1) × π
    -0.10430908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32769665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228179931640625 × 2 - 1) × π
    0.54364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70789585966336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32769665} λ = -0.32769665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70789585966336))-π/2
    2×atan(5.51733999765934)-π/2
    2×1.39149601861884-π/2
    2.78299203723768-1.57079632675     		φ = 1.21219571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32769665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.775635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21219571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.453698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29350 KachelY 14954 -0.32769665 1.21219571 -18.775635 69.453698
    Oben rechts KachelX + 1 29351 KachelY 14954 -0.32760077 1.21219571 -18.770141 69.453698
    Unten links KachelX 29350 KachelY + 1 14955 -0.32769665 1.21216206 -18.775635 69.451770
    Unten rechts KachelX + 1 29351 KachelY + 1 14955 -0.32760077 1.21216206 -18.770141 69.451770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21219571-1.21216206) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dl = 214.384149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21219571-1.21216206) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dr = 214.384149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32769665--0.32760077) × cos(1.21219571) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.350964210481211 × 6371000     		do = 214.387007399463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32769665--0.32760077) × cos(1.21216206) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.350995719768106 × 6371000     		du = 214.406254893996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21219571)-sin(1.21216206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350964210481211-0.350995719768106)×R²
    abs(-0.32760077--0.32769665)×3.15092868948263e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.15092868948263e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.15092868948263e-05×40589641000000     		ar = 45963.2395355371m²