Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29350 / 14702
↖ ↑ ↗
← N 69.934070°
W 18.775635°		 ← 209.58 m → N 69.934070°
W 18.770141°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
N 69.932185°
W 18.775635°		 ← 209.60 m →
43 932 m²		 N 69.932185°
W 18.770141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447853088378906 y=0.224342346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447853088378906 × 216)
    floor (0.447853088378906 × 65536)
    floor (29350.5)     		tx = 29350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224342346191406 × 216)
    floor (0.224342346191406 × 65536)
    floor (14702.5)     		ty = 14702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29350 / 14702 ti = "16/29350/14702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29350/14702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29350 ÷ 216
    29350 ÷ 65536     		x = 0.447845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14702 ÷ 216
    14702 ÷ 65536     		y = 0.224334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447845458984375 × 2 - 1) × π
    -0.10430908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32769665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224334716796875 × 2 - 1) × π
    0.55133056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73205605707187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32769665} λ = -0.32769665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73205605707187))-π/2
    2×atan(5.65226334552955)-π/2
    2×1.39568805325977-π/2
    2.79137610651955-1.57079632675     		φ = 1.22057978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32769665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.775635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22057978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.934070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29350 KachelY 14702 -0.32769665 1.22057978 -18.775635 69.934070
    Oben rechts KachelX + 1 29351 KachelY 14702 -0.32760077 1.22057978 -18.770141 69.934070
    Unten links KachelX 29350 KachelY + 1 14703 -0.32769665 1.22054688 -18.775635 69.932185
    Unten rechts KachelX + 1 29351 KachelY + 1 14703 -0.32760077 1.22054688 -18.770141 69.932185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22057978-1.22054688) × R
    3.29000000001134e-05 × 6371000     		dl = 209.605900000722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22057978-1.22054688) × R
    3.29000000001134e-05 × 6371000     		dr = 209.605900000722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32769665--0.32760077) × cos(1.22057978) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.343101217564372 × 6371000     		do = 209.583886538982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32769665--0.32760077) × cos(1.22054688) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.343132120297269 × 6371000     		du = 209.602763519109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22057978)-sin(1.22054688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343101217564372-0.343132120297269)×R²
    abs(-0.32760077--0.32769665)×3.09027328969647e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.09027328969647e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.09027328969647e-05×40589641000000     		ar = 43931.9975309972m²