Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29349 / 19658
↖ ↑ ↗
← N 58.234380°
W 18.781128°		 ← 321.55 m → N 58.234380°
W 18.775635°		 →
↑
321.54 m
↓
↑
321.54 m
↓
N 58.231488°
W 18.781128°		 ← 321.57 m →
103 396 m²		 N 58.231488°
W 18.775635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447837829589844 y=0.299964904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447837829589844 × 216)
    floor (0.447837829589844 × 65536)
    floor (29349.5)     		tx = 29349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299964904785156 × 216)
    floor (0.299964904785156 × 65536)
    floor (19658.5)     		ty = 19658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29349 / 19658 ti = "16/29349/19658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29349/19658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29349 ÷ 216
    29349 ÷ 65536     		x = 0.447830200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19658 ÷ 216
    19658 ÷ 65536     		y = 0.299957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447830200195312 × 2 - 1) × π
    -0.104339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32779252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299957275390625 × 2 - 1) × π
    0.40008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25690550803787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32779252} λ = -0.32779252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25690550803787))-π/2
    2×atan(3.51452896101936)-π/2
    2×1.29358900051674-π/2
    2.58717800103347-1.57079632675     		φ = 1.01638167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32779252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.781128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01638167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.234380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29349 KachelY 19658 -0.32779252 1.01638167 -18.781128 58.234380
    Oben rechts KachelX + 1 29350 KachelY 19658 -0.32769665 1.01638167 -18.775635 58.234380
    Unten links KachelX 29349 KachelY + 1 19659 -0.32779252 1.01633120 -18.781128 58.231488
    Unten rechts KachelX + 1 29350 KachelY + 1 19659 -0.32769665 1.01633120 -18.775635 58.231488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01638167-1.01633120) × R
    5.04699999999136e-05 × 6371000     		dl = 321.54436999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01638167-1.01633120) × R
    5.04699999999136e-05 × 6371000     		dr = 321.54436999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32779252--0.32769665) × cos(1.01638167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.526445726511573 × 6371000     		do = 321.546611322026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32779252--0.32769665) × cos(1.01633120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.526488635876041 × 6371000     		du = 321.572819837062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01638167)-sin(1.01633120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526445726511573-0.526488635876041)×R²
    abs(-0.32769665--0.32779252)×4.29093644680467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29093644680467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29093644680467e-05×40589641000000     		ar = 103395.716185132m²