Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29349 / 18881
↖ ↑ ↗
← N 60.411140°
W 18.781128°		 ← 301.59 m → N 60.411140°
W 18.775635°		 →
↑
301.60 m
↓
↑
301.60 m
↓
N 60.408428°
W 18.781128°		 ← 301.62 m →
90 964 m²		 N 60.408428°
W 18.775635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447837829589844 y=0.288108825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447837829589844 × 216)
    floor (0.447837829589844 × 65536)
    floor (29349.5)     		tx = 29349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288108825683594 × 216)
    floor (0.288108825683594 × 65536)
    floor (18881.5)     		ty = 18881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29349 / 18881 ti = "16/29349/18881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29349/18881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29349 ÷ 216
    29349 ÷ 65536     		x = 0.447830200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18881 ÷ 216
    18881 ÷ 65536     		y = 0.288101196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447830200195312 × 2 - 1) × π
    -0.104339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32779252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288101196289062 × 2 - 1) × π
    0.423797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33139945004744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32779252} λ = -0.32779252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33139945004744))-π/2
    2×atan(3.78633847315659)-π/2
    2×1.31258481310223-π/2
    2.62516962620446-1.57079632675     		φ = 1.05437330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32779252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.781128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05437330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.411140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29349 KachelY 18881 -0.32779252 1.05437330 -18.781128 60.411140
    Oben rechts KachelX + 1 29350 KachelY 18881 -0.32769665 1.05437330 -18.775635 60.411140
    Unten links KachelX 29349 KachelY + 1 18882 -0.32779252 1.05432596 -18.781128 60.408428
    Unten rechts KachelX + 1 29350 KachelY + 1 18882 -0.32769665 1.05432596 -18.775635 60.408428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05437330-1.05432596) × R
    4.73400000000623e-05 × 6371000     		dl = 301.603140000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05437330-1.05432596) × R
    4.73400000000623e-05 × 6371000     		dr = 301.603140000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32779252--0.32769665) × cos(1.05437330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493772799788619 × 6371000     		do = 301.59038726954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32779252--0.32769665) × cos(1.05432596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493813965670936 × 6371000     		du = 301.615530887001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05437330)-sin(1.05432596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493772799788619-0.493813965670936)×R²
    abs(-0.32769665--0.32779252)×4.11658823173955e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11658823173955e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11658823173955e-05×40589641000000     		ar = 90964.3995083811m²