Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29348 / 19628
↖ ↑ ↗
← N 58.321030°
W 18.786621°		 ← 320.76 m → N 58.321030°
W 18.781128°		 →
↑
320.78 m
↓
↑
320.78 m
↓
N 58.318145°
W 18.786621°		 ← 320.79 m →
102 898 m²		 N 58.318145°
W 18.781128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447822570800781 y=0.299507141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447822570800781 × 216)
    floor (0.447822570800781 × 65536)
    floor (29348.5)     		tx = 29348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299507141113281 × 216)
    floor (0.299507141113281 × 65536)
    floor (19628.5)     		ty = 19628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29348 / 19628 ti = "16/29348/19628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29348/19628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29348 ÷ 216
    29348 ÷ 65536     		x = 0.44781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19628 ÷ 216
    19628 ÷ 65536     		y = 0.29949951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29949951171875 × 2 - 1) × π
    0.4010009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25978172201508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32788839} λ = -0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25978172201508))-π/2
    2×atan(3.52465204944585)-π/2
    2×1.2943451605742-π/2
    2.58869032114839-1.57079632675     		φ = 1.01789399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01789399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.321030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29348 KachelY 19628 -0.32788839 1.01789399 -18.786621 58.321030
    Oben rechts KachelX + 1 29349 KachelY 19628 -0.32779252 1.01789399 -18.781128 58.321030
    Unten links KachelX 29348 KachelY + 1 19629 -0.32788839 1.01784364 -18.786621 58.318145
    Unten rechts KachelX + 1 29349 KachelY + 1 19629 -0.32779252 1.01784364 -18.781128 58.318145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01789399-1.01784364) × R
    5.03499999999768e-05 × 6371000     		dl = 320.779849999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01789399-1.01784364) × R
    5.03499999999768e-05 × 6371000     		dr = 320.779849999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32788839--0.32779252) × cos(1.01789399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.525159337304055 × 6371000     		do = 320.760900526615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32788839--0.32779252) × cos(1.01784364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.525202184685695 × 6371000     		du = 320.787071183297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01789399)-sin(1.01784364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525159337304055-0.525202184685695)×R²
    abs(-0.32779252--0.32788839)×4.28473816403985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28473816403985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28473816403985e-05×40589641000000     		ar = 102897.831088259m²