Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29347 / 21924
↖ ↑ ↗
← N 75.906829°
W 99.396057°		 ← 74.37 m → N 75.906829°
W 99.393310°		 →
↑
74.35 m
↓
↑
74.35 m
↓
N 75.906160°
W 99.396057°		 ← 74.37 m →
5 530 m²		 N 75.906160°
W 99.393310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223903656005859 y=0.167270660400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223903656005859 × 217)
    floor (0.223903656005859 × 131072)
    floor (29347.5)     		tx = 29347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167270660400391 × 217)
    floor (0.167270660400391 × 131072)
    floor (21924.5)     		ty = 21924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29347 / 21924 ti = "17/29347/21924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29347/21924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29347 ÷ 217
    29347 ÷ 131072     		x = 0.223899841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21924 ÷ 217
    21924 ÷ 131072     		y = 0.167266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223899841308594 × 2 - 1) × π
    -0.552200317382812 × 3.1415926535     		Λ = -1.73478846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167266845703125 × 2 - 1) × π
    0.66546630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09062406622989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73478846} λ = -1.73478846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09062406622989))-π/2
    2×atan(8.08996226152829)-π/2
    2×1.4478102095855-π/2
    2.89562041917101-1.57079632675     		φ = 1.32482409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73478846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.396057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32482409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.906829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29347 KachelY 21924 -1.73478846 1.32482409 -99.396057 75.906829
    Oben rechts KachelX + 1 29348 KachelY 21924 -1.73474052 1.32482409 -99.393310 75.906829
    Unten links KachelX 29347 KachelY + 1 21925 -1.73478846 1.32481242 -99.396057 75.906160
    Unten rechts KachelX + 1 29348 KachelY + 1 21925 -1.73474052 1.32481242 -99.393310 75.906160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32482409-1.32481242) × R
    1.16699999999081e-05 × 6371000     		dl = 74.3495699994148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32482409-1.32481242) × R
    1.16699999999081e-05 × 6371000     		dr = 74.3495699994148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73478846--1.73474052) × cos(1.32482409) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.243499413205927 × 6371000     		do = 74.3709884682818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73478846--1.73474052) × cos(1.32481242) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.243510731934533 × 6371000     		du = 74.3744454993421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32482409)-sin(1.32481242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243499413205927-0.243510731934533)×R²
    abs(-1.73474052--1.73478846)×1.13187286058802e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.13187286058802e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.13187286058802e-05×40589641000000     		ar = 5529.57952759407m²