Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29347 / 15006
↖ ↑ ↗
← N 69.353213°
W 18.792114°		 ← 215.39 m → N 69.353213°
W 18.786621°		 →
↑
215.40 m
↓
↑
215.40 m
↓
N 69.351276°
W 18.792114°		 ← 215.41 m →
46 398 m²		 N 69.351276°
W 18.786621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447807312011719 y=0.228981018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447807312011719 × 216)
    floor (0.447807312011719 × 65536)
    floor (29347.5)     		tx = 29347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228981018066406 × 216)
    floor (0.228981018066406 × 65536)
    floor (15006.5)     		ty = 15006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29347 / 15006 ti = "16/29347/15006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29347/15006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29347 ÷ 216
    29347 ÷ 65536     		x = 0.447799682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15006 ÷ 216
    15006 ÷ 65536     		y = 0.228973388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447799682617188 × 2 - 1) × π
    -0.104400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32798427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228973388671875 × 2 - 1) × π
    0.54205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70291042210287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32798427} λ = -0.32798427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70291042210287))-π/2
    2×atan(5.48990209540507)-π/2
    2×1.39061911876228-π/2
    2.78123823752456-1.57079632675     		φ = 1.21044191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32798427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.792114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21044191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.353213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29347 KachelY 15006 -0.32798427 1.21044191 -18.792114 69.353213
    Oben rechts KachelX + 1 29348 KachelY 15006 -0.32788839 1.21044191 -18.786621 69.353213
    Unten links KachelX 29347 KachelY + 1 15007 -0.32798427 1.21040810 -18.792114 69.351276
    Unten rechts KachelX + 1 29348 KachelY + 1 15007 -0.32788839 1.21040810 -18.786621 69.351276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21044191-1.21040810) × R
    3.3809999999912e-05 × 6371000     		dl = 215.403509999439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21044191-1.21040810) × R
    3.3809999999912e-05 × 6371000     		dr = 215.403509999439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32798427--0.32788839) × cos(1.21044191) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.352605908695942 × 6371000     		do = 215.389841183769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32798427--0.32788839) × cos(1.21040810) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.35263754694278 × 6371000     		du = 215.409167453675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21044191)-sin(1.21040810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352605908695942-0.35263754694278)×R²
    abs(-0.32788839--0.32798427)×3.16382468375509e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.16382468375509e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.16382468375509e-05×40589641000000     		ar = 46397.8092870422m²