Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29347 / 14704
↖ ↑ ↗
← N 69.930300°
W 18.792114°		 ← 209.62 m → N 69.930300°
W 18.786621°		 →
↑
209.67 m
↓
↑
209.67 m
↓
N 69.928415°
W 18.792114°		 ← 209.64 m →
43 953 m²		 N 69.928415°
W 18.786621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447807312011719 y=0.224372863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447807312011719 × 216)
    floor (0.447807312011719 × 65536)
    floor (29347.5)     		tx = 29347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224372863769531 × 216)
    floor (0.224372863769531 × 65536)
    floor (14704.5)     		ty = 14704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29347 / 14704 ti = "16/29347/14704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29347/14704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29347 ÷ 216
    29347 ÷ 65536     		x = 0.447799682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14704 ÷ 216
    14704 ÷ 65536     		y = 0.224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447799682617188 × 2 - 1) × π
    -0.104400634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32798427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224365234375 × 2 - 1) × π
    0.55126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73186430947339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32798427} λ = -0.32798427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73186430947339))-π/2
    2×atan(5.65117964150921)-π/2
    2×1.39565515588007-π/2
    2.79131031176013-1.57079632675     		φ = 1.22051399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32798427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.792114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22051399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.930300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29347 KachelY 14704 -0.32798427 1.22051399 -18.792114 69.930300
    Oben rechts KachelX + 1 29348 KachelY 14704 -0.32788839 1.22051399 -18.786621 69.930300
    Unten links KachelX 29347 KachelY + 1 14705 -0.32798427 1.22048108 -18.792114 69.928415
    Unten rechts KachelX + 1 29348 KachelY + 1 14705 -0.32788839 1.22048108 -18.786621 69.928415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22051399-1.22048108) × R
    3.29099999998306e-05 × 6371000     		dl = 209.669609998921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22051399-1.22048108) × R
    3.29099999998306e-05 × 6371000     		dr = 209.669609998921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32798427--0.32788839) × cos(1.22051399) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.343163013265997 × 6371000     		do = 209.621634534899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32798427--0.32788839) × cos(1.22048108) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.3431939246488 × 6371000     		du = 209.640516798833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22051399)-sin(1.22048108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343163013265997-0.3431939246488)×R²
    abs(-0.32788839--0.32798427)×3.09113828025898e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.09113828025898e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.09113828025898e-05×40589641000000     		ar = 43953.2658827932m²