Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29346 / 18882
↖ ↑ ↗
← N 60.408428°
W 18.797607°		 ← 301.62 m → N 60.408428°
W 18.792114°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
N 60.405715°
W 18.797607°		 ← 301.64 m →
90 991 m²		 N 60.405715°
W 18.792114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447792053222656 y=0.288124084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447792053222656 × 216)
    floor (0.447792053222656 × 65536)
    floor (29346.5)     		tx = 29346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288124084472656 × 216)
    floor (0.288124084472656 × 65536)
    floor (18882.5)     		ty = 18882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29346 / 18882 ti = "16/29346/18882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29346/18882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29346 ÷ 216
    29346 ÷ 65536     		x = 0.447784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18882 ÷ 216
    18882 ÷ 65536     		y = 0.288116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.10443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32808014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288116455078125 × 2 - 1) × π
    0.42376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3313035762482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32808014} λ = -0.32808014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3313035762482))-π/2
    2×atan(3.78597547990301)-π/2
    2×1.31256114217835-π/2
    2.62512228435671-1.57079632675     		φ = 1.05432596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32808014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.797607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05432596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.408428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29346 KachelY 18882 -0.32808014 1.05432596 -18.797607 60.408428
    Oben rechts KachelX + 1 29347 KachelY 18882 -0.32798427 1.05432596 -18.792114 60.408428
    Unten links KachelX 29346 KachelY + 1 18883 -0.32808014 1.05427861 -18.797607 60.405715
    Unten rechts KachelX + 1 29347 KachelY + 1 18883 -0.32798427 1.05427861 -18.792114 60.405715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05432596-1.05427861) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05432596-1.05427861) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32808014--0.32798427) × cos(1.05432596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493813965670936 × 6371000     		do = 301.615530887001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32808014--0.32798427) × cos(1.05427861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.493855139142021 × 6371000     		du = 301.640679139588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05432596)-sin(1.05427861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493813965670936-0.493855139142021)×R²
    abs(-0.32798427--0.32808014)×4.11734710848433e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11734710848433e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11734710848433e-05×40589641000000     		ar = 90991.2003280301m²