Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29345 / 15004
↖ ↑ ↗
← N 69.357087°
W 18.803100°		 ← 215.33 m → N 69.357087°
W 18.797607°		 →
↑
215.40 m
↓
↑
215.40 m
↓
N 69.355149°
W 18.803100°		 ← 215.35 m →
46 385 m²		 N 69.355149°
W 18.797607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447776794433594 y=0.228950500488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447776794433594 × 216)
    floor (0.447776794433594 × 65536)
    floor (29345.5)     		tx = 29345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228950500488281 × 216)
    floor (0.228950500488281 × 65536)
    floor (15004.5)     		ty = 15004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29345 / 15004 ti = "16/29345/15004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29345/15004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29345 ÷ 216
    29345 ÷ 65536     		x = 0.447769165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15004 ÷ 216
    15004 ÷ 65536     		y = 0.22894287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447769165039062 × 2 - 1) × π
    -0.104461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32817601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22894287109375 × 2 - 1) × π
    0.5421142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70310216970136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32817601} λ = -0.32817601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70310216970136))-π/2
    2×atan(5.49095487187821)-π/2
    2×1.39065292139756-π/2
    2.78130584279512-1.57079632675     		φ = 1.21050952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32817601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.803100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21050952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.357087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29345 KachelY 15004 -0.32817601 1.21050952 -18.803100 69.357087
    Oben rechts KachelX + 1 29346 KachelY 15004 -0.32808014 1.21050952 -18.797607 69.357087
    Unten links KachelX 29345 KachelY + 1 15005 -0.32817601 1.21047571 -18.803100 69.355149
    Unten rechts KachelX + 1 29346 KachelY + 1 15005 -0.32808014 1.21047571 -18.797607 69.355149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21050952-1.21047571) × R
    3.3809999999912e-05 × 6371000     		dl = 215.403509999439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21050952-1.21047571) × R
    3.3809999999912e-05 × 6371000     		dr = 215.403509999439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32817601--0.32808014) × cos(1.21050952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352542640351052 × 6371000     		do = 215.328733129926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32817601--0.32808014) × cos(1.21047571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352574279403873 × 6371000     		du = 215.348057876444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21050952)-sin(1.21047571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352542640351052-0.352574279403873)×R²
    abs(-0.32808014--0.32817601)×3.16390528211641e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16390528211641e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16390528211641e-05×40589641000000     		ar = 46384.6462336346m²