Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29344 / 14687
↖ ↑ ↗
← N 69.962321°
W 18.808594°		 ← 209.30 m → N 69.962321°
W 18.803100°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
N 69.960439°
W 18.808594°		 ← 209.32 m →
43 806 m²		 N 69.960439°
W 18.803100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447761535644531 y=0.224113464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447761535644531 × 216)
    floor (0.447761535644531 × 65536)
    floor (29344.5)     		tx = 29344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224113464355469 × 216)
    floor (0.224113464355469 × 65536)
    floor (14687.5)     		ty = 14687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29344 / 14687 ti = "16/29344/14687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29344/14687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29344 ÷ 216
    29344 ÷ 65536     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14687 ÷ 216
    14687 ÷ 65536     		y = 0.224105834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224105834960938 × 2 - 1) × π
    0.551788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73349416406047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73349416406047))-π/2
    2×atan(5.66039775262009)-π/2
    2×1.39593459482625-π/2
    2.7918691896525-1.57079632675     		φ = 1.22107286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22107286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.962321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29344 KachelY 14687 -0.32827189 1.22107286 -18.808594 69.962321
    Oben rechts KachelX + 1 29345 KachelY 14687 -0.32817601 1.22107286 -18.803100 69.962321
    Unten links KachelX 29344 KachelY + 1 14688 -0.32827189 1.22104001 -18.808594 69.960439
    Unten rechts KachelX + 1 29345 KachelY + 1 14688 -0.32817601 1.22104001 -18.803100 69.960439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22107286-1.22104001) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dl = 209.287349999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22107286-1.22104001) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dr = 209.287349999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32817601) × cos(1.22107286) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.342638026600889 × 6371000     		do = 209.300945653416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32817601) × cos(1.22104001) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.34266888792337 × 6371000     		du = 209.319797337928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22107286)-sin(1.22104001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342638026600889-0.34266888792337)×R²
    abs(-0.32817601--0.32827189)×3.08613224807019e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.08613224807019e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.08613224807019e-05×40589641000000     		ar = 43806.012981517m²