Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29343 / 17808
↖ ↑ ↗
← N 63.194018°
W 18.814087°		 ← 275.45 m → N 63.194018°
W 18.808594°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 63.191541°
W 18.814087°		 ← 275.47 m →
75 884 m²		 N 63.191541°
W 18.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447746276855469 y=0.271736145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447746276855469 × 216)
    floor (0.447746276855469 × 65536)
    floor (29343.5)     		tx = 29343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271736145019531 × 216)
    floor (0.271736145019531 × 65536)
    floor (17808.5)     		ty = 17808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29343 / 17808 ti = "16/29343/17808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29343/17808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29343 ÷ 216
    29343 ÷ 65536     		x = 0.447738647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17808 ÷ 216
    17808 ÷ 65536     		y = 0.271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447738647460938 × 2 - 1) × π
    -0.104522705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32836776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271728515625 × 2 - 1) × π
    0.45654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43427203663208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32836776} λ = -0.32836776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43427203663208))-π/2
    2×atan(4.19658893355363)-π/2
    2×1.33687000804352-π/2
    2.67374001608705-1.57079632675     		φ = 1.10294369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32836776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.814087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10294369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.194018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29343 KachelY 17808 -0.32836776 1.10294369 -18.814087 63.194018
    Oben rechts KachelX + 1 29344 KachelY 17808 -0.32827189 1.10294369 -18.808594 63.194018
    Unten links KachelX 29343 KachelY + 1 17809 -0.32836776 1.10290045 -18.814087 63.191541
    Unten rechts KachelX + 1 29344 KachelY + 1 17809 -0.32827189 1.10290045 -18.808594 63.191541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10294369-1.10290045) × R
    4.3240000000111e-05 × 6371000     		dl = 275.482040000707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10294369-1.10290045) × R
    4.3240000000111e-05 × 6371000     		dr = 275.482040000707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32836776--0.32827189) × cos(1.10294369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450970721746385 × 6371000     		do = 275.447401470759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32836776--0.32827189) × cos(1.10290045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.45100931470004 × 6371000     		du = 275.47097357486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10294369)-sin(1.10290045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450970721746385-0.45100931470004)×R²
    abs(-0.32827189--0.32836776)×3.85929536549923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85929536549923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85929536549923e-05×40589641000000     		ar = 75884.0589276289m²