Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29343 / 14688
↖ ↑ ↗
← N 69.960439°
W 18.814087°		 ← 209.30 m → N 69.960439°
W 18.808594°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
N 69.958557°
W 18.814087°		 ← 209.32 m →
43 805 m²		 N 69.958557°
W 18.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447746276855469 y=0.224128723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447746276855469 × 216)
    floor (0.447746276855469 × 65536)
    floor (29343.5)     		tx = 29343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224128723144531 × 216)
    floor (0.224128723144531 × 65536)
    floor (14688.5)     		ty = 14688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29343 / 14688 ti = "16/29343/14688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29343/14688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29343 ÷ 216
    29343 ÷ 65536     		x = 0.447738647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14688 ÷ 216
    14688 ÷ 65536     		y = 0.22412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447738647460938 × 2 - 1) × π
    -0.104522705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32836776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22412109375 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32836776} λ = -0.32836776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73339829026123))-π/2
    2×atan(5.65985509479608)-π/2
    2×1.39591816908197-π/2
    2.79183633816394-1.57079632675     		φ = 1.22104001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32836776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.814087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22104001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.960439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29343 KachelY 14688 -0.32836776 1.22104001 -18.814087 69.960439
    Oben rechts KachelX + 1 29344 KachelY 14688 -0.32827189 1.22104001 -18.808594 69.960439
    Unten links KachelX 29343 KachelY + 1 14689 -0.32836776 1.22100716 -18.814087 69.958557
    Unten rechts KachelX + 1 29344 KachelY + 1 14689 -0.32827189 1.22100716 -18.808594 69.958557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22104001-1.22100716) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dl = 209.287349999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22104001-1.22100716) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dr = 209.287349999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32836776--0.32827189) × cos(1.22104001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34266888792337 × 6371000     		do = 209.29796590309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32836776--0.32827189) × cos(1.22100716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342699748876069 × 6371000     		du = 209.316815395569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22104001)-sin(1.22100716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34266888792337-0.342699748876069)×R²
    abs(-0.32827189--0.32836776)×3.08609526989967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08609526989967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08609526989967e-05×40589641000000     		ar = 43805.389128582m²