Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29341 / 19586
↖ ↑ ↗
← N 58.441983°
W 18.825073°		 ← 319.66 m → N 58.441983°
W 18.819580°		 →
↑
319.70 m
↓
↑
319.70 m
↓
N 58.439108°
W 18.825073°		 ← 319.69 m →
102 199 m²		 N 58.439108°
W 18.819580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447715759277344 y=0.298866271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447715759277344 × 216)
    floor (0.447715759277344 × 65536)
    floor (29341.5)     		tx = 29341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298866271972656 × 216)
    floor (0.298866271972656 × 65536)
    floor (19586.5)     		ty = 19586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29341 / 19586 ti = "16/29341/19586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29341/19586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29341 ÷ 216
    29341 ÷ 65536     		x = 0.447708129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19586 ÷ 216
    19586 ÷ 65536     		y = 0.298858642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447708129882812 × 2 - 1) × π
    -0.104583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32855951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298858642578125 × 2 - 1) × π
    0.40228271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26380842158316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32855951} λ = -0.32855951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26380842158316))-π/2
    2×atan(3.53887337762327)-π/2
    2×1.29540067969294-π/2
    2.59080135938588-1.57079632675     		φ = 1.02000503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32855951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.825073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02000503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.441983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29341 KachelY 19586 -0.32855951 1.02000503 -18.825073 58.441983
    Oben rechts KachelX + 1 29342 KachelY 19586 -0.32846364 1.02000503 -18.819580 58.441983
    Unten links KachelX 29341 KachelY + 1 19587 -0.32855951 1.01995485 -18.825073 58.439108
    Unten rechts KachelX + 1 29342 KachelY + 1 19587 -0.32846364 1.01995485 -18.819580 58.439108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02000503-1.01995485) × R
    5.01800000001218e-05 × 6371000     		dl = 319.696780000776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02000503-1.01995485) × R
    5.01800000001218e-05 × 6371000     		dr = 319.696780000776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32855951--0.32846364) × cos(1.02000503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523361665141678 × 6371000     		do = 319.662904355365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32855951--0.32846364) × cos(1.01995485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523404423395381 × 6371000     		du = 319.689020573794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02000503)-sin(1.01995485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523361665141678-0.523404423395381)×R²
    abs(-0.32846364--0.32855951)×4.27582537027016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27582537027016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27582537027016e-05×40589641000000     		ar = 102199.375864968m²